在我国，父母与子女之间的自然血亲关系无法通过法律程序断绝，因此“断绝亲子关系”在法律上是不被承认和支持的，双方之间的抚养、赡养、继承以及人身权益等法律关系依然存在且不受影响。以下从多个角度详细分析这一问题的法律后果：

1. 父母子女关系的法律性质

   • 自然血亲关系：这种关系基于血缘形成，具有不可改变性。无论双方关系如何变化，甚至声称“断绝关系”，这种血缘关系在法律上都是一直存在且具有重要影响的。例如，即使父母与子女长期不联系，甚至存在矛盾，他们之间的血缘关系仍然无法改变，法律上的权利和义务也依然存在。
   • 拟制血亲关系：与自然血亲不同，拟制血亲的父母子女关系（如养父母与养子女、继父母与受其抚养教育的继子女）在符合法定条件和程序时可以解除。但解除后，仅指双方的权利义务关系消除，血缘上的“拟制”关系在特定情境下（如涉及某些法律权益时）可能仍需考虑其原始形成基础，不过这并不改变其可解除的法律特性，且与自然血亲的不可解除性形成鲜明对比。

2. 抚养与赡养义务

   • 父母的抚养义务：父母对未成年子女负有抚养教育的义务，必须保障其基本生活、教育、医疗等需求。试图通过“断绝关系”逃避抚养责任是不被法律允许的，情节严重的还可能涉嫌遗弃罪。例如，如果父母拒绝抚养未成年子女，导致子女生活无着，父母可能会面临法律制裁。
   • 子女的赡养义务：成年子女对父母有赡养扶助的义务。当父母年老、缺乏劳动能力或生活困难时，子女有责任提供经济供养、生活照料和精神慰藉。即使声称“断绝关系”，这种赡养义务依然存在。若拒绝履行，父母有权通过法律途径要求子女承担相应责任，如起诉子女要求支付赡养费等。

3. 法定继承权利

   • 父母和子女互为第一顺序法定继承人。在没有遗嘱的情况下，子女有权继承父母的遗产，父母也有权继承子女的遗产。这种基于血缘关系产生的继承权受法律保护，即使双方关系恶劣或声称“断绝关系”，也不能影响其在法定继承中的权利地位。当然，如果被继承人通过遗嘱明确表示不让某子女继承，则该子女无法通过法定继承获得遗产，但这与“断绝关系”无关，而是基于被继承人的个人意愿。

4. 人身权益保护

   • 父母作为未成年子女的监护人，对子女的人身安全和权益负有保护责任。同样，当父母的人身权益受到侵害时，成年子女也有责任关心和维护父母权益。这种基于血缘关系产生的人身权益关联在法律上不会因“断绝关系”而消失。例如，如果子女对父母实施家庭暴力或虐待，父母可以依法追究子女的法律责任。

5. 法律责任与制裁

   • 试图通过断绝关系来规避法律责任或逃避应尽的义务是不可行的。如果父母或子女不履行法律规定的义务，可能会面临法律上的制裁或追责。例如，拒绝履行抚养或赡养义务可能构成违法行为，并受到相应的法律处罚，如罚款、拘留等；情节严重的还可能构成犯罪，如遗弃罪、虐待罪等。

总结与建议： “断绝亲子关系”在法律上是不被承认和支持的，双方之间的法律关系依然存在且不受影响。因此，在面对家庭矛盾和问题时，建议寻求专业的法律咨询和帮助，以便更好地理解和处理相关的法律问题。如果你有任何关于婚姻家庭领域的法律问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供详细、专业的解答。