可以要求法院执行。以下是详细分析：

1. 保全与调解后的执行依据
   在您委托律师立案后，若法院根据您的申请采取了财产保全措施（如冻结银行账户、查封房产等），且后续双方达成调解协议，该调解书与判决书具有同等法律效力。若对方未按调解书约定的期限履行义务，您有权直接向法院申请强制执行，无需另行起诉。

2. 申请执行的流程

   • 材料准备：需提交强制执行申请书（载明双方信息、调解书文号、未履行内容及申请执行金额）、调解书复印件、保全裁定书（如有）、对方财产线索（如未保全的财产信息）。
     
   • 法院审查：法院会在7日内审查材料，符合条件的立案执行，并向被执行人发出执行通知，责令其限期履行。
     
   • 执行措施：若对方仍不履行，法院可采取查封、扣押、拍卖财产、限制高消费、纳入失信被执行人名单等措施，甚至司法拘留。

3. 保全措施的延续性
   若调解前已采取保全措施，保全期限一般不超过3年（不动产2年），执行阶段可依法续封。保全财产若足以覆盖债务，法院会优先处置；若不足，您需提供其他财产线索，法院会继续查控。

4. 注意事项

   • 时效性：申请强制执行的期限为调解书生效后2年内，逾期法院不予受理。
     
   • 对方抗辩：若对方主张调解书存在胁迫、重大误解等情形，需在执行阶段提出书面异议，法院会审查后裁定是否中止执行。
     
   • 律师协助：执行阶段涉及财产调查、异议处理等专业操作，建议继续委托律师跟进，以提高执行效率。

总结：调解书生效后对方拒不履行，您可直接向法院申请强制执行，保全措施可为执行提供保障。若遇复杂情况（如财产转移、异议等），建议及时联系律师制定应对方案。