没有约定付款时间的调解书，不可以随时申请执行，需满足一定条件后方可申请。具体分析如下：

1. 调解书生效与执行申请的基本规定
   根据《民事诉讼法》第2四十七条，发生法律效力的民事判决、裁定，以及调解书和其他应当由人民法院执行的法律文书，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。调解书经双方当事人签收后，即具有法律效力，但申请执行需以“履行期限届满”为前提。若调解书未约定付款时间，则需通过补充约定或法定规则确定履行期限，否则无法直接申请执行。

2. 未约定付款时间时的处理方式

   • 补充协商：双方可就付款时间另行协商并达成补充协议，明确履行期限。补充协议生效后，若对方仍不履行，即可申请执行。
     
   • 法定履行期限：若协商未果，根据《民法典》第五百一十一条，履行期限不明确的，债务人可以随时履行，债权人也可以随时请求履行，但应当给对方必要的准备时间。此时，债权人需先向债务人发出书面催告，要求其在合理期限内履行（如15日或30日）。若债务人逾期未履行，方可申请执行。
     
   • 司法确认程序：若双方对履行期限争议较大，可共同向法院申请对调解书进行补充解释或确认，由法院裁定明确的履行期限，再据此申请执行。

3. 申请执行的时效限制
   即使调解书未约定付款时间，申请执行的时效仍受《民事诉讼法》第二百四十六条约束：申请执行的期间为二年，从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从最后一期履行期限届满之日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。因此，需在调解书生效后二年内完成催告程序并申请执行，逾期将丧失强制执行权利。

总结建议：若调解书未约定付款时间，应优先与对方协商补充约定；协商不成时，及时发出书面催告并保留证据，待合理期限届满后申请执行。若对程序或时效有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。