核心结论：租房合同到期半年后，能否向原房东开发票需分情况讨论，主要取决于房东是否仍存在纳税义务以及双方是否就发票开具达成新的约定。以下为具体分析：

1. 若房东在合同到期后仍实际收取租金，且未履行纳税义务
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。若房东在合同到期后继续收取租金（如续租未签新合同但实际履行），则属于经营行为，房东有义务开具发票。此时，您可要求房东补开发票，若房东拒绝，可向当地税务机关举报或申请税务机关协调处理。

2. 若合同到期后双方已终止租赁关系，且无后续租金往来
   若合同到期后您已搬离且未再支付租金，房东无继续提供租赁服务的义务，亦无开具发票的法定义务。此时要求补开发票缺乏法律依据，但若房东曾承诺开具发票却未履行（如合同中约定“合同终止后30日内开具发票”），您可依据合同约定主张违约责任，要求房东履行承诺或赔偿损失。

3. 特殊情形：合同到期后未续签但实际占用房屋
   若合同到期后您未搬离且继续使用房屋，房东未提出异议，双方形成不定期租赁关系。根据《民法典》第七百三十四条，不定期租赁中，房东仍有权收取租金，且需履行纳税义务。此时您可要求房东开具发票，若房东拒绝，同样可向税务机关求助。

建议行动：

• 首先确认合同到期后是否仍有租金支付或房屋使用行为；
  
• 若存在未开发票的情形，可先与房东协商补开；
  
• 协商无果时，携带租赁合同、付款凭证等证据向当地税务局投诉或申请协助。
  

如有其他细节需要进一步分析，欢迎随时向我咨询。