核心结论：家长要求机构出具责任认定书是合理的诉求，但责任认定书的出具需结合具体情况，由有权机关或双方协商确定，机构不能单方面随意出具。以下从不同角度进行分析：

1. 责任认定书的性质与出具主体 责任认定书通常是对事故责任进行明确划分的书面文件，具有法律上的证明效力。在小朋友在机构摔伤骨折的情况下，责任认定书一般应由具有相应权限的部门或经过双方认可的第三方机构出具，例如：

   • 若涉及侵权纠纷，可由法院在审理过程中根据双方提供的证据和法律规定，对责任进行认定并体现在判决书中；
   • 若双方协商一致，也可以共同委托有资质的鉴定机构或调解组织出具责任认定书；
   • 机构本身作为事故发生的一方，不具备单方面出具具有法律效力责任认定书的资格，其自行出具的“责任认定书”可能因缺乏公正性和权威性而不被认可。

2. 机构应采取的措施 面对家长的要求，机构应积极应对，采取以下措施：

   • 及时救助与通知：首先确保小朋友得到及时的医疗救治，并通知家长事故情况；
   • 调查事故原因：机构应尽快调查事故发生的具体原因，包括场地设施是否安全、工作人员是否尽到监护职责等，并保留相关证据；
   • 协商与沟通：与家长进行积极沟通，说明事故情况，表达歉意，并就后续处理事宜进行协商。在协商过程中，可以提及责任认定的问题，但应明确告知家长责任认定书的出具需遵循法定程序或双方共同认可的方式；
   • 配合调查与调解：如果家长或相关部门要求进行调查或调解，机构应积极配合，提供必要的证据和资料。

3. 家长的权利与途径 家长作为小朋友的监护人，有权要求机构对事故负责并赔偿损失。如果家长对机构的处理方式不满意或认为机构存在过错，可以采取以下途径维护自身权益：

   • 与机构协商：首先尝试与机构进行协商，寻求双方都能接受的解决方案；
   • 向相关部门投诉：如果协商无果，可以向当地的教育部门、消费者协会等相关部门投诉，请求介入调解；
   • 提起诉讼：如果其他途径均无法解决问题，家长可以向法院提起诉讼，要求机构承担相应的法律责任。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和法律规定对责任进行认定。