物业公布精神病人业主的视频，这一行为是否违法，需要分情况讨论：

1. 若视频内容涉及业主隐私且未经同意：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。隐私是自然人的私人生活安宁和不愿为他人知晓的私密空间、私密活动、私密信息。
   • 法律分析：如果物业公布的视频中包含了精神病人业主的私密信息，如家庭住址、健康状况、日常生活细节等，且未经业主本人或其法定代理人的同意，那么物业的行为就构成了对业主隐私权的侵犯。
   • 法律后果：业主有权要求物业停止侵害、消除影响、赔礼道歉，并可以依法要求赔偿损失。如果物业拒不改正，业主还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

2. 若视频内容不涉及隐私或已获同意：

   • 法律分析：如果视频内容主要是公共区域的情况，且不涉及业主的私密信息，或者物业在公布视频前已经获得了业主本人或其法定代理人的明确同意，那么物业的行为可能不构成违法。但即便如此，物业在公布视频时也应谨慎处理，避免对业主造成不必要的困扰或伤害。
   • 特别提醒：即使视频内容不涉及隐私或已获同意，物业在公布时也应考虑视频的传播范围和影响，避免对业主的声誉和形象造成负面影响。如果视频被恶意传播或用于其他不当目的，物业也可能需要承担一定的法律责任。

额外建议：

• 对于物业：在处理涉及业主隐私的问题时，应严格遵守相关法律法规，尊重和保护业主的隐私权。在公布任何视频或信息前，应确保已经获得了业主的明确同意，并谨慎处理视频内容，避免泄露业主的私密信息。
• 对于业主：如果发现物业公布了涉及自己隐私的视频或信息，应及时与物业沟通，要求其停止侵害并消除影响。如果物业拒不改正，可以向相关部门投诉或向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

总结：物业公布精神病人业主的视频是否违法，取决于视频内容是否涉及业主隐私以及是否获得了业主的同意。在处理此类问题时，物业和业主都应谨慎行事，遵守相关法律法规，尊重和保护彼此的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。