当非车主（即机动车使用人）在驾驶过程中发生交通事故时，责任的承担主要依据《中华人民共和国民法典》以及相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、基本原则
在租赁、借用等情形下，机动车所有人（车主）和使用人不是同一人时，若发生交通事故且属于机动车一方责任的，原则上由机动车使用人承担赔偿责任。这是因为使用人直接控制了车辆，并应对其驾驶行为负责。
二、车主的责任
然而，车主并非在任何情况下都完全免责。如果车主对损害的发生存在过错，例如：
明知使用人无驾驶资格或不具备相应驾驶能力：如车主明知借车人没有驾照或驾照被吊销、暂扣，仍然把车借给对方，这种情况下如发生交通事故，车主将承担一定的责任。
明知车辆存在缺陷或安全隐患：如车主知道车辆存在刹车失灵、轮胎磨损严重等安全隐患，但未告知使用人或未进行修理，导致事故发生，车主也可能承担相应责任。
其他过错情形：如车主未尽到对车辆的合理管理义务，如未定期检查车辆状况、未妥善保管车钥匙等，也可能被视为对损害的发生存在过错。
三、具体案例分析
以您提供的案例为例，刘某驾驶陈某所有的小型客车发生交通事故，经交警部门认定刘某承担事故全部责任。在此情况下，刘某作为机动车使用人，应承担赔偿责任。而陈某作为车主，在出借机动车时已经审查了驾驶人的驾驶资格，并尽到了相关注意义务，且未举证证明陈某对事故发生有其他过错，因此陈某不承担赔偿责任。
四、保险公司的角色
如果车辆在保险公司投保了交强险和商业险，那么保险公司将在保险赔偿限额内承担赔偿责任。这有助于减轻使用人的经济负担，并保障受害人的合法权益。
五、建议与注意事项
车主应切实保管好自己的车辆：如确需出租、出借车辆给他人使用，应当确认车辆是否存在缺陷、使用人是否具备驾驶资格、使用人是否存在妨碍安全驾驶的情形等。
使用人应谨慎驾驶：在驾驶过程中应遵守交通规则，确保行车安全。如发生事故，应积极配合相关部门处理，并承担相应的赔偿责任。
及时购买保险：车主和使用人都应认识到保险的重要性，及时购买交强险和商业险，以减轻可能的经济负担。
综上所述，非车主驾车发生交通事故时，责任的承担主要依据使用人的驾驶行为和车主的过错情况。车主应尽到合理的注意义务，使用人应谨慎驾驶，并共同确保行车安全。