结论：公司是否可以因员工工作上的疏忽而开除员工，需根据疏忽的严重程度、是否造成重大损害、是否符合公司规章制度以及相关法律法规的规定来综合判断。
可以开除的情形：
- 严重失职，营私舞弊，造成重大损害：如果员工的工作疏忽达到了“严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害”的程度，公司可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，合法解除劳动合同。这里的关键在于“严重”和“重大损害”的界定，通常需要公司承担举证责任，证明员工的失误行为及其造成的具体损害。
- 试用期间不符合录用条件：若员工在试用期间被证明不符合录用条件，且该条件已在劳动合同或公司规章制度中明确，公司同样可以依据劳动合同法第三十九条进行辞退。
- 严重违反职业道德或劳动纪律：即使未造成直接经济损失，但员工的工作疏忽若属于严重违反职业道德、劳动纪律等行为，并符合公司合法有效的规章制度中的辞退规定，公司也可合法辞退员工。
- 特殊情况下的解除：如劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商未果等。在这些特殊情况下，公司需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同。
不可以开除的情形：
- 如果员工的疏忽并未达到上述严重程度，或者公司没有明确的规章制度规定该疏忽行为属于可辞退情形，那么公司不能仅仅基于一次工作疏忽就辞退员工。否则，可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
违法辞退的法律后果：
- 若公司违反劳动合同法规定辞退员工，员工有权要求继续履行劳动合同，或要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的支付半个月工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
建议：
- 对于公司而言，在辞退员工前应确保辞退行为的合法性，避免不必要的法律纠纷。建议公司制定明确的规章制度，明确哪些行为属于可辞退情形，并在辞退员工前进行充分的调查和举证。
- 对于员工而言，应了解自身权益，遇到不当辞退时能够及时维护自己的合法权益。如果认为公司的辞退行为违法，可以向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼或申请仲裁。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。