针对市民投诉司机在驾驶过程中刷手机视频的情况，交通部门通常会采取以下步骤进行处理：

一、接收投诉

交通部门会接收市民通过各类渠道（如“随手拍”平台、电话、邮件等）提交的投诉信息。这些信息通常会包括投诉时间、地点、涉事车辆信息以及具体的违法行为描述等。

二、核实投诉

接收到投诉后，交通部门会进行初步核实。这可能包括查看投诉时间段的监控录像、调取涉事车辆的行驶记录，或者联系投诉人进一步了解情况。如果初步核实表明存在违法行为，交通部门将启动进一步的调查程序。

三、调查处理

1. 调取证据：交通部门会调取更多相关证据，如涉事车辆的行车记录仪数据、周边监控录像等，以全面了解违法行为的详细情况。

2. 确认违法行为：通过对调取的证据进行分析，交通部门会确认司机是否存在驾驶过程中刷手机视频的违法行为。如果确认存在该行为，将依据相关法律法规进行处罚。

3. 处罚决定：根据违法行为的严重程度和相关法律法规，交通部门会对司机作出相应的处罚决定。对于驾驶过程中刷手机视频的行为，通常会处以罚款和驾驶证记分。例如，在某些地区，这种行为可能会被处以200元罚款，并记3分。

4. 通知司机：交通部门会将处罚决定通知司机，并告知其违法行为的性质、处罚依据以及缴纳罚款的方式和期限等。

四、反馈市民

处理完毕后，交通部门会及时将处理结果反馈给投诉市民，告知其投诉已得到妥善处理，并感谢其对交通安全的关注和贡献。

五、宣传教育

除了对具体违法行为进行处理外，交通部门还会加强宣传教育，提醒广大司机遵守交通法规，确保行车安全。这可能包括发布宣传海报、开展交通安全讲座、利用社交媒体进行宣传等多种形式。

综上所述，交通部门在接到市民投诉司机驾驶过程中刷手机视频后，会采取一系列措施进行调查处理，并根据违法行为的严重程度对司机进行处罚。同时，也会加强宣传教育，提高司机的交通安全意识。