对方可能构成犯罪，但具体是否构成犯罪以及构成何种犯罪，需要结合实际情况判断；同时，你的行为也可能涉嫌犯罪。以下从不同角度进行分析：
对方的行为
威胁行为可能构成寻衅滋事罪或治安管理处罚：
- 如果对方的威胁行为情节恶劣，如多次威胁、持凶器威胁、造成公共场所秩序严重混乱等，可能构成《中华人民共和国刑法》第二百九十三条规定的寻衅滋事罪。
- 如果威胁行为情节较轻，未达到犯罪程度，则可能违反《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条，面临五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
威胁行为不构成犯罪或治安管理处罚的情况：
- 如果对方的威胁行为情节显著轻微，如只是一时气话，未造成实际影响，且没有进一步的行动，那么可能不构成犯罪或治安管理处罚。
你的行为
你的行为可能构成故意伤害罪：
- 你将对方打成重伤，根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
- 在此情况下，无论对方是否构成犯罪，你的行为都可能因故意伤害他人身体并造成重伤后果而构成故意伤害罪。
你的行为可能构成正当防卫或防卫过当：
- 正当防卫：如果对方的威胁行为已经对你的人身安全构成现实、紧迫的危险，且你的防卫行为没有明显超过必要限度，那么你的行为可能构成正当防卫，不负刑事责任。但重伤结果的出现需要严格评估是否在必要限度内。
- 防卫过当：如果对方的威胁行为尚未对你的人身安全构成现实、紧迫的危险，或者你的防卫行为明显超过必要限度造成重大损害（如重伤），那么你的行为可能构成防卫过当。防卫过当应当负刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。
综合分析
- 对方有罪的可能性：如果对方的威胁行为构成寻衅滋事罪或违反治安管理处罚法，那么对方确实有罪或应受行政处罚。但这并不影响你因故意伤害行为可能承担的刑事责任。
- 你的刑事责任：无论对方是否构成犯罪，你因将对方打成重伤而可能构成故意伤害罪。除非你的行为能被认定为正当防卫且未超过必要限度，否则你需要承担相应的刑事责任。
建议
- 立即报警并配合调查：无论是你还是对方的行为，都应由公安机关进行调查取证，以确定各自的行为性质和责任。
- 咨询专业律师：在涉及刑事案件的情况下，建议尽快咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
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