结论前置：当公司开除员工却不出具书面通知时，员工可以通过收集证据、与公司协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁以及提起诉讼等步骤来维护自身合法权益。

一、收集证据

证据是维权的关键。员工应全面收集能证明公司开除事实的相关材料，包括但不限于：

1. 沟通记录：保留与公司领导、人力资源部门关于开除事宜的所有聊天记录，无论是微信、短信还是电子邮件。这些记录可以证明公司有开除你的意图和行动。
2. 工作交接证据：若公司要求工作交接，应保存交接清单、邮件等，以证明公司开除行为及员工的配合情况。
3. 录音录像：在不违反法律法规的前提下，与公司相关人员当面沟通时可进行录音录像，清晰记录开除原因和时间等信息。例如，你可以偷偷录下领导与你谈话中提及开除你的内容。
4. 其他证据：包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，这些都能证明你与公司存在劳动关系。

二、与公司协商

在收集到一定证据后，员工应尝试与公司进行沟通协商，要求公司出具书面开除通知，并明确开除原因、时间、经济补偿等相关事宜。协商时应注意：

1. 选择合适的沟通对象：优先与人力资源部门沟通，必要时再与公司高层领导沟通。
2. 注意沟通方式和态度：保持冷静、理智，避免情绪化表达，以免激化矛盾。
3. 明确协商目的：重点强调要求书面开除通知，并依据法律法规讨论经济补偿等问题。
4. 书面提出问题：如果协商无果，员工应用书面形式向用人单位提出异议，并保留好这份书面材料作为重要证据。

三、向劳动监察部门投诉

若与公司协商无果，员工可向当地劳动监察部门进行投诉。投诉时需准备个人身份证明、劳动关系证明及反映公司开除但不出具书面通知的相关证据。劳动监察部门将根据提供的材料进行调查，并对公司的违法行为进行处理。

四、申请劳动仲裁

如劳动监察部门的处理结果不能满足诉求，或公司仍拒绝出具书面开除通知和给予合理补偿，员工可向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。申请仲裁的流程包括：

1. 提交仲裁申请书：写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由等内容，并提交副本。
2. 提交证据材料：将之前收集的所有证据进行整理，一并提交给仲裁委员会。
3. 参加仲裁庭审：按时参加庭审，陈述自己的主张和理由，并进行举证和质证。

仲裁请求示例：你可以要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算标准通常是按照你在该单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付一个月工资的赔偿金。

五、提起诉讼

如果你对仲裁结果不满意，还可以在规定的时间内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，要充分阐述自己的观点和理由，并提供更加充分的证据来支持自己的诉求。

六、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。若用人单位违反此规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。

综上所述，面对公司开除员工却未出具书面通知的情况，员工应积极采取措施保护自己的权益，确保每一步都符合法律法规，最终实现合法权益的有效维护。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。