起诉一方支付垫付的抚养费，案由通常可以确定为“抚养费纠纷”。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律背景与依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定：“离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。”这一条款明确了父母对子女的抚养义务，以及抚养费支付的相关规定。当一方已经垫付了抚养费，而另一方未按照约定或判决支付时，垫付方有权通过法律途径追讨。

二、起诉条件与流程

1. 起诉条件：

   • 原告（即垫付抚养费的一方）与本案有直接利害关系；
   • 有明确的被告（即未支付抚养费的一方）；
   • 有具体的诉讼请求和事实、理由；
   • 属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。

2. 起诉流程：

   • 准备起诉材料：包括起诉书、原告身份证明、抚养关系证明、相关证据材料（如垫付抚养费的凭证、对方未支付的证据等）；
   • 提交至被告住所地或原告住所地（若被告不在我国领域内居住）的人民法院进行起诉；
   • 法院受理案件后，将对起诉书进行审查，符合起诉条件的将立案审理；
   • 法院依法对抚养费案件作出判决，要求被告支付拖欠的抚养费。

三、证据收集与提交

在起诉过程中，证据的收集与提交至关重要。原告需要提供充分的证据证明自己已经垫付了抚养费，而被告未按照约定或判决支付。这些证据可以包括但不限于：

• 垫付抚养费的银行转账记录、收据或发票；
• 双方关于抚养费支付的协议或判决文书；
• 被告未支付抚养费的沟通记录（如短信、微信、邮件等）；
• 其他能够证明被告未履行抚养义务的相关证据。

四、法律后果与执行

如果法院判决被告支付拖欠的抚养费，而被告拒不履行判决，原告可以向法院申请强制执行。法院将采取一系列措施强制被告履行义务，包括但不限于冻结银行账户、查封财产、限制高消费等。在极端情况下，被告甚至可能面临司法拘留或刑事处罚。

五、特殊情况与注意事项

• 经济困难：如果被告确实经济困难，无法一次性支付拖欠的抚养费，可以与原告协商分期支付或申请降低抚养费标准。但这需要得到原告的同意，并经过法院的确认。
• 变更抚养关系：如果双方情况发生变化，如直接抚养子女的一方因失业、疾病等原因无法继续履行抚养义务，可以协商变更抚养关系，并重新确定抚养费的支付方式和标准。
• 法律援助：如果原告或被告经济困难，无法承担诉讼费用或律师费用，可以向当地法律援助机构申请法律援助。

总结：起诉一方支付垫付的抚养费，案由为“抚养费纠纷”。在起诉过程中，需要准备充分的证据材料，并遵循法律规定的起诉条件和流程。如果法院判决被告支付拖欠的抚养费而被告拒不履行，原告可以向法院申请强制执行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。