在生产安全事故中，若发生一人死亡的情况，责任单位和责任人将面临多方面的法律责任追究，这主要包括刑事责任、行政责任以及民事责任。以下是对此问题的详细解答：
一、刑事责任
重大责任事故罪：依据《刑法》第一百三十四条第一款，若在生产、作业中违反安全管理规定，导致重大伤亡事故（包括一人死亡），相关责任人可能面临三年以下有期徒刑或拘役的处罚；若情节特别恶劣，将受到三年以上七年以下有期徒刑的惩罚。
重大劳动安全事故罪：根据《刑法》第一百三十五条，若安全生产设施或条件不符合国家规定，导致重大伤亡事故，直接负责的主管人员和其他直接责任人员可能面临三年以下有期徒刑或拘役；情节特别恶劣者，同样将受到三年以上七年以下有期徒刑的处罚。
二、行政责任
对生产经营单位的处罚：根据《中华人民共和国安全生产法》的相关规定，发生一般事故（如一人死亡）的生产经营单位，除需承担相应赔偿责任外，还将面临三十万元以上一百万元以下的罚款。具体罚款数额会根据地区、事故具体情况及法律法规的最新修订而有所调整。
对主要负责人的处罚：若生产经营单位的主要负责人未履行安全生产管理职责，导致事故发生，将处以上一年年收入百分之四十的罚款。此外，若事故被认定为重大或特别重大，主要负责人还可能面临终身不得担任本行业生产经营单位主要负责人的处罚。
对其他责任人员的处罚：直接负责的主管人员和其他直接责任人员也可能根据其责任大小受到不同程度的行政处罚，如罚款、撤销职务等。
其他行政处罚措施：若事故情节严重，安全生产监督管理部门还有权对事故单位采取暂扣或吊销安全生产许可证等行政处罚措施，并可能要求整个行业进行安全自查和整改，甚至暂停部分审批业务。
三、民事责任
根据《民法典》第一千一百七十九条，因生产安全事故造成他人人身损害的，侵权人应赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。若造成死亡，还应赔偿丧葬费和死亡赔偿金等。死者家属有权要求生产经营单位承担相应的民事赔偿责任。具体来说，事故单位需向死亡员工的家属支付丧葬补助金和一次性工亡补助金，丧葬补助金通常为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；一次性工亡补助金则为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
总结与建议：
生产安全事故导致一人死亡，责任单位和责任人将面临严格的法律责任追究。这要求各生产经营单位必须严格遵守安全生产法律法规，加强安全生产管理，确保生产安全。同时，对于已发生的事故，应积极配合调查，依法承担相应责任，以维护法律的尊严和受害者的合法权益。此外，建议各生产经营单位建立健全安全管理制度，加强员工安全培训，提高安全意识，以预防类似事故的发生。