结论：分手后一个多月，您仍然可以就前男友打伤您手部的行为报警，公安机关应当依法受理并开展调查。
法律背景与依据：
报警的时效性：
- 报警并没有严格的时间限制，只要您发现自身权益受到侵害，无论时间过去多久，都可以向公安机关报案。公安机关在接到报案后，会依法进行调查，并根据调查结果决定是否立案。
故意伤害行为的法律性质：
- 前男友打伤您手部的行为，如果构成故意伤害，即使分手后一个多月，您仍然有权报警。故意伤害他人身体，是违反治安管理或刑事法律的行为，具体取决于伤害的严重程度。
- 如果您的伤势构成轻伤或以上，那么该行为可能构成刑事犯罪，公安机关会依法进行刑事立案侦查。
- 如果伤势较轻，不构成刑事犯罪，但违反了治安管理处罚法，公安机关也会依法对加害人进行行政处罚。
证据收集与保存：
- 在报警前或报警过程中，建议您尽可能收集并保存与伤害事件相关的证据，如医疗记录、伤情照片、证人证言等。这些证据将有助于公安机关查明事实，依法处理案件。
- 如果您当时没有及时报警或收集证据，现在仍然可以尝试回忆并寻找可能的证据线索，如与事件相关的聊天记录、通话记录等。
法律建议：
及时报警：
- 尽管分手后一个多月，但您仍然应该尽快向当地公安机关报案，说明情况并提供相关证据。公安机关会依法进行调查，并根据调查结果采取相应的法律措施。
配合调查：
- 在公安机关调查过程中，您需要积极配合，如实陈述事实，提供证据材料。这有助于公安机关尽快查明真相，依法处理案件。
寻求法律援助：
- 如果您在报警或处理案件过程中遇到任何法律问题或困难，可以随时向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供法律建议和帮助。
可能的法律后果：
- 如果前男友的行为构成刑事犯罪，他可能会面临刑事处罚，如拘役、有期徒刑等。
- 如果行为不构成刑事犯罪但违反了治安管理处罚法，他可能会受到行政处罚，如罚款、拘留等。
- 无论结果如何，您都有权要求前男友承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、精神损害抚慰金等。
总结与进一步思考：
- 报警是维护自身权益的重要途径，无论时间过去多久，只要发现权益受到侵害，都应该及时报警。
- 在处理此类案件时，证据的收集与保存至关重要。因此，建议您在报警前或报警过程中尽可能收集并保存相关证据。
- 如果您在处理案件过程中遇到任何法律问题或困难，不要犹豫，随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。