当学生被老师打伤时，公安机关的处理方式会依据具体情况和相关法律法规来综合判断。以下是一个详细且深入的分析：

首先，我们需要明确的是，教师体罚学生是《中华人民共和国未成年人保护法》和《中华人民共和国义务教育法》明令禁止的行为。如果教师因体罚学生导致学生受伤，这一行为首先会受到教育行政部门的关注和处理。

一、教育行政部门的处理

1. 调查与认定：教育行政部门在接到相关报告后，会立即展开调查，核实教师体罚学生的事实，并评估学生的受伤程度。

2. 行政处分：根据调查结果，如果教师确实存在体罚学生的行为，教育行政部门会依据《中华人民共和国教师法》等相关规定，对教师给予行政处分，如警告、记过、降级、撤职等。

二、公安机关的介入与处理

1. 报警与立案：如果学生受伤情况较为严重，或者家长认为教师的行为已经构成违法，他们可以向公安机关报警。公安机关在接到报警后，会进行立案调查。

2. 法律适用与判断：

   • 职务行为判断：公安机关在调查过程中，会首先判断教师的行为是否属于职务行为。如果教师的行为是在履行教育教学职责过程中发生的，且目的是为了维护教学秩序或教育学生，那么这一行为可能被视为职务行为。
   • 法律适用：对于职务行为，公安机关需要依据特别法（如《中华人民共和国教师法》、《中华人民共和国未成年人保护法》）来指引适用法律。如果特别法没有规定治安处罚，而是一般性地规定了行政处分或刑事责任，那么公安机关通常不会直接依据《中华人民共和国治安管理处罚法》对教师进行治安处罚。
   • 伤害故意与情节判断：如果教师的行为明显不具有伤害故意，且情节较轻，那么公安机关可能会倾向于不给予治安处罚，而是建议教育行政部门进行行政处分。然而，如果教师的行为构成故意伤害，且情节严重，那么公安机关将依法对教师进行治安处罚，甚至可能追究其刑事责任。

3. 处理结果：根据调查结果和法律适用判断，公安机关会作出相应的处理决定。如果教师的行为不构成治安处罚，公安机关可能会将案件移交教育行政部门处理；如果构成治安处罚，公安机关将依法对教师进行处罚，并告知当事人可以就民事争议依法向人民法院提起民事诉讼。

三、具体案例参考

以您提供的典型案例为例，教师韩小会因体罚学生致轻微伤被公安机关处以行政拘留十日并罚款500元。然而，法院在审理后认为，韩小会的行为虽然超出惩戒的正常范围，但明显不具有殴打、伤害的故意，且属于履行教育职责的职务行为。因此，法院撤销了公安机关的行政处罚决定，并指出应当依据《中华人民共和国教师法》和《中华人民共和国未成年人保护法》的规定对韩小会进行行政处分。

综上所述，当学生被老师打伤时，公安机关的处理方式会依据具体情况和相关法律法规来综合判断。如果教师的行为属于职务行为且不具有伤害故意，那么公安机关通常会建议教育行政部门进行行政处分；如果教师的行为构成故意伤害且情节严重，那么公安机关将依法对教师进行治安处罚或追究其刑事责任。