公司通常没有义务让员工做兼职司机而不加工资，这主要取决于劳动合同的约定以及公司规章制度的合法性。以下从不同角度为你详细分析：

一、劳动合同约定优先

1. 劳动合同内容：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。如果劳动合同中明确约定了员工的工作岗位、工作内容以及薪酬待遇，且未提及兼职司机或额外工作不加薪等条款，那么公司要求员工做兼职司机而不加工资，可能构成违约。
2. 变更劳动合同：如果公司希望员工承担兼职司机的工作，且希望这一变更不影响原有薪酬，那么公司应当与员工协商一致，并签订书面的劳动合同变更协议。未经员工同意，公司单方面变更劳动合同内容，包括工作内容和薪酬待遇，是违法的。

二、公司规章制度需合法

1. 规章制度制定程序：公司规章制度是公司内部管理的重要依据，但其制定必须遵循法定程序，包括民主程序和公示程序。如果公司规章制度中规定了员工需承担兼职司机工作且不加薪，但这一规定未经民主程序制定或未向员工公示，那么该规定对员工不具有约束力。
2. 规章制度内容合法性：即使公司规章制度经过了法定程序制定并公示，其内容也必须合法。如果规章制度中的规定违反了法律法规的强制性规定，如最低工资标准、工作时间和休息休假等，那么这些规定也是无效的。

三、法律后果与建议

1. 法律后果：如果公司违反劳动合同约定或公司规章制度不合法，要求员工做兼职司机而不加工资，员工有权拒绝这一要求，并可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司支付加班费或恢复原薪酬待遇。
2. 建议：对于员工而言，如果公司提出这样的要求，首先应当查看自己的劳动合同和公司规章制度，了解自己的权利和义务。如果认为公司的要求不合理或违法，可以与公司进行协商，协商不成的，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。同时，员工也应当保留好相关证据，如劳动合同、公司规章制度、工作记录等，以便在维权时使用。

总结来说，公司通常没有义务让员工做兼职司机而不加工资。如果公司有这样的要求，必须确保劳动合同中有相应约定或公司规章制度合法有效，并且经过员工同意。否则，员工有权拒绝这一要求，并维护自己的合法权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。