在城市里砍伐自家院子里种的一颗石榴树，是否会面临罚款，主要取决于该树木是否受到相关法律法规的保护，以及砍伐行为是否符合规定。以下从不同情况进行分析：

1. 若石榴树不属于受保护范围：

   • 通常情况下，自家院子里种植的石榴树，如果并未被纳入城市绿化、古树名木保护等特定保护范围，那么砍伐行为一般不会受到行政处罚，即通常不会面临罚款。但需要注意的是，即使如此，砍伐前也应考虑是否会对周边环境或他人权益造成影响，避免引发不必要的纠纷。

2. 若石榴树属于受保护范围：

   • 城市绿化保护：如果石榴树被纳入城市绿化范围，根据《城市绿化条例》等相关规定，未经许可擅自砍伐城市树木的，可能会面临行政处罚，包括罚款、责令补种等。具体罚款金额会根据树木的价值、砍伐数量、情节严重程度等因素综合确定。
   • 古树名木保护：如果石榴树被认定为古树名木，那么根据《城市古树名木保护管理办法》等规定，砍伐古树名木将面临更为严厉的处罚，包括高额罚款、责令补种、甚至可能承担刑事责任。

法律建议：

• 在砍伐自家院子里的石榴树前，建议先确认该树木是否受到相关法律法规的保护。可以通过咨询当地城市绿化管理部门或林业部门来获取准确信息。
• 如果树木确实受到保护，且因特殊原因需要砍伐（如树木危及安全、严重影响居住环境等），应提前向相关部门申请砍伐许可，并按照规定的程序进行砍伐。
• 砍伐过程中，应尽量减少对周边环境的影响，避免对他人权益造成损害。

可能后果：

• 如果未经许可擅自砍伐受保护的树木，可能会面临行政处罚，包括罚款、责令补种等。
• 在严重情况下，如砍伐古树名木或大量砍伐城市树木，还可能构成犯罪，需承担刑事责任。

总之，砍伐自家院子里的石榴树是否会面临罚款，取决于该树木是否受到相关法律法规的保护以及砍伐行为是否符合规定。在砍伐前，建议先进行确认并咨询相关部门，以避免不必要的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。