结论前置：工作九年未签劳动合同的劳动者，有权要求用人单位支付双倍工资（但受时效和金额限制）、经济补偿金（在违法解除时加倍），并可要求补缴社会保险及赔偿其他损失。维权过程中应注重证据收集，并在仲裁时效内提出主张。以下是对这一结论的详细分析：

一、双倍工资赔偿

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，也需支付二倍工资。

2. 计算方式与时效：

   • 计算方式：劳动者最多可主张11个月的双倍工资差额（从用工满一个月的次日至满一年的前一日）。例如，若员工于2015年1月1日入职，单位直至2015年12月31日仍未签订劳动合同，则单位需支付从2015年2月1日至2015年12月31日的二倍工资差额。但需注意，由于您已工作九年，实际上只能主张入职后一年内的双倍工资差额，即最多11个月，后续年份因已视为订立无固定期限劳动合同，不再重复计算双倍工资。
   • 时效：劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您需在发现未签订劳动合同后的一年内提出仲裁申请，否则可能丧失主张双倍工资的权利。

二、经济补偿金与赔偿金

1. 正常解除劳动关系：若用人单位与您正常解除劳动关系，按工作年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿金。您已工作九年，则应支付9个月工资作为经济补偿金。

2. 违法解除劳动关系：若用人单位违法解除劳动关系，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。即您工作九年，应支付18个月工资作为赔偿金。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、视为已订立无固定期限劳动合同

• 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。即便如此，用人单位仍需承担违法解除等相应责任，且您仍有权要求支付入职后一年内的双倍工资差额（如前所述）。

四、补缴社会保险

• 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险。未缴纳期间，您有权要求补缴。若因未缴纳社保导致您遭受损失（如无法享受医保待遇），用人单位应承担赔偿责任。

五、其他损失赔偿

• 若您因未签订劳动合同而遭受其他损失（如工伤待遇损失），同样有权要求用人单位赔偿。

六、维权建议

1. 证据收集：您应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，以备维权之需。
2. 时效意识：务必在劳动争议申请仲裁的一年时效期内提出主张，避免权益受损。
3. 法律途径：
   • 首先尝试与用人单位协商，看是否能达成和解。
   • 协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据和申请书。
   • 对仲裁结果不服，还可向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。

示例说明：假设您于2015年1月1日入职某公司，至今未签订劳动合同。若公司于今年提出解除劳动关系，且解除行为违法，则您有权要求公司支付：1）入职后一年内的双倍工资差额（最多11个月）；2）9个月工资作为经济补偿金（若正常解除）或18个月工资作为赔偿金（若违法解除）；3）补缴自入职以来的社会保险；4）赔偿因未签订劳动合同而遭受的其他损失（如有）。

综上所述，工作九年未签劳动合同的劳动者享有多项法定权益。在维权过程中，您应充分了解自己的权益，积极收集证据，并在法定时效内通过合法途径主张权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。