针对您提出的“私自支付员工补偿金怎么处理”这一问题，首先需要明确的是，这里可能存在一个概念上的混淆。通常我们讨论的是“私自开除员工”或“违法解除劳动合同”后的赔偿问题，而“私自支付员工补偿金”这一表述并不常见，且若是在合法解除或双方协商一致解除劳动合同的情况下支付补偿金，则属于正常流程。不过，我将基于您可能想要了解的“违法解除劳动合同后的赔偿处理”来给出详细解答。

若用人单位私自（即违法）解除劳动合同并支付补偿金（实际上应为赔偿金，因为违法解除需支付的是赔偿金而非补偿金），处理方式如下：

1. 赔偿金的计算：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同的，应当依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿的计算依据是劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 月工资的确定细节：

   • 月工资包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
   • 若劳动者的月平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准来计算经济补偿。
   • 若劳动者在用人单位工作不满12个月，则按实际工作的月数来计算平均工资。

3. 特殊情况的补偿限制：

   • 如果劳动者的月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿将按月平均工资三倍的数额来支付，且补偿的年限最高不超过十二年。

4. 代通知金的考虑：

   • 如果用人单位在解除劳动合同时没有提前一个月通知劳动者，那么除了支付赔偿金外，还需要额外支付一个月的工资作为代通知金。

5. 处理流程与维权途径：

   • 劳动者在遭遇违法解除劳动合同时，首先可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成一致的赔偿方案。
   • 如果协商不成，劳动者可以向当地的劳动监察部门进行投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 如果对仲裁结果不满意，劳动者还有权向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

6. 寻求专业法律帮助：

   • 鉴于劳动法律问题的复杂性，建议劳动者在遇到此类问题时，尽快寻求专业律师的帮助。律师能够提供更具体、更专业的法律建议，帮助劳动者更有效地维护自己的权益。

总结：私自（违法）解除劳动合同是用人单位的违法行为，需要承担相应的法律责任，包括支付赔偿金和可能的代通知金。劳动者应了解自己的权益，并通过合法途径来维护自己的利益。在必要时，寻求专业律师的帮助是明智且有效的选择。希望这些解答能够帮助您更好地理解和处理相关问题。