结论：关于男方出轨并承认后写道歉书，同时提出退婚，同居一个月后彩礼应退多少的问题，这并非一个简单的固定数额问题，而是需要根据双方的具体情况、彩礼的数额、同居期间的共同支出、双方的经济状况以及当地的风俗习惯等多方面因素来综合考量。

详细分析：

1. 彩礼的性质与目的：

   • 彩礼在中国传统习俗中，通常被视为男方为了与女方建立婚姻关系而给予的财物，具有一定的象征意义。然而，在法律上，彩礼并不被视为一种无条件的赠与，而是附条件的赠与，即以结婚为条件。

2. 退婚与彩礼返还的法律依据：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五条：“当事人请求返还按照习俗给付的彩礼的，如果查明属于以下情形，人民法院应当予以支持：（一）双方未办理结婚登记手续；（二）双方办理结婚登记手续但确未共同生活；（三）婚前给付并导致给付人生活困难。适用前款第二项、第三项的规定，应当以双方离婚为条件。”
   • 在本案例中，由于双方未办理结婚登记手续，且男方提出退婚，因此女方原则上应当返还彩礼。但返还的具体数额，并非固定不变，而是需要根据实际情况来判定。

3. 影响彩礼返还数额的因素：

   • 彩礼的数额：彩礼的多少直接影响返还的数额。一般来说，彩礼数额越大，返还的数额也可能相应增加。
   • 同居期间的共同支出：如果双方在同居期间有共同的生活支出，如房租、水电费、生活费等，这些费用应当从彩礼中扣除。
   • 双方的经济状况：如果男方因给付彩礼而导致生活困难，或者女方因返还彩礼而面临经济压力，法院在判决时可能会考虑这一因素，对返还数额进行适当调整。
   • 当地的风俗习惯：不同地区对于彩礼的返还可能有不同的风俗习惯，法院在判决时也会适当参考。

4. 具体操作建议：

   • 协商解决：首先，双方可以尝试通过协商来解决彩礼返还的问题。在协商过程中，可以充分考虑上述因素，达成一个双方都能接受的返还数额。
   • 诉讼解决：如果协商无果，双方可以选择通过诉讼来解决。在诉讼过程中，法院会根据双方提供的证据和法律规定，来判定彩礼的返还数额。

举例说明： 假设男方给付的彩礼为10万元，双方同居一个月期间共同支出了2万元，且双方经济状况相当，当地也无特殊的风俗习惯。那么，在协商或诉讼过程中，女方可能需要返还的彩礼数额可能在8万元左右（即10万元减去2万元的共同支出）。但具体数额还需根据法院的判决或双方的协商结果来确定。

后续行动建议： 如果你或对方对彩礼的返还数额有争议，建议收集相关证据（如彩礼的给付凭证、同居期间的共同支出凭证等），并咨询专业律师（即我，马颖秋律师，专注于离婚财产纠纷、涉外婚姻领域）的意见，以便更好地维护自己的合法权益。