当您对自己委托的鉴定机构的结果不认可时，在符合法定条件的情况下，您确实有权申请重新鉴定。以下是对此问题的详细解析：

一、重新鉴定的法律依据及条件

根据相关法律法规，如《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》等，当事人对鉴定结果有异议并申请重新鉴定时，需满足以下条件之一，相关机构方可能予以准许：

1. 鉴定机构或鉴定人员不具备资质：

   • 鉴定机构若超出其核准登记的业务范围进行鉴定，或鉴定人员虽具有某种鉴定资质但实际进行了超出其资质范围的鉴定，其鉴定结果的可靠性将受到质疑。

2. 鉴定程序严重违法：

   • 鉴定过程中若违反了回避、保密等重要程序规定，或未遵循法定步骤、方法，影响了结果的公正性和准确性，构成申请重新鉴定的合理理由。

3. 鉴定意见明显依据不足：

   • 鉴定意见所依据的科学原理、实验数据、专业知识等存在错误或不完整，如未充分考虑伤者的实际康复情况，仅依据不完整的病历资料作出鉴定。

4. 鉴定意见不能作为证据使用的其他情形：

   • 鉴定人员存在私下收受好处、徇私舞弊等行为，或鉴定意见在法庭质证过程中被发现存在其他问题，导致其不能作为认定案件事实的依据。

二、重新鉴定的程序

1. 提交申请：

   • 您应以书面方式向原鉴定机构或相关办案机关（如法院、公安机关等）提交重新鉴定的申请，明确说明申请的理由和依据，并附上相关证据材料。

2. 审批与委托：

   • 申请需经原鉴定机构或相关办案机关审查同意。在某些情况下，如法院办理的案件，还需经法院负责人批准。
   • 批准后，将另行委托其他具备资格的鉴定机构或鉴定人员进行重新鉴定。

3. 鉴定与结论：

   • 重新鉴定应严格按照法定程序进行，确保结果的公正、客观和准确。
   • 鉴定完成后，将出具新的鉴定结论，该结论将作为案件处理的重要依据。

三、注意事项

1. 申请次数限制：

   • 通常，申请重新鉴定的次数以一次为限。因此，在提出申请前，您应充分评估其理由和依据的充分性。

2. 费用承担：

   • 如果重新鉴定后结论有改变，鉴定费用一般由原鉴定机构或相关办案机关承担；如果结论未改变，则可能由您自行承担。具体费用承担方式可能因地区和案件类型而异。

3. 配合义务：

   • 在申请重新鉴定时，您应积极配合原鉴定机构或相关办案机关的要求，如提供必要的证据材料、参与鉴定过程等。

4. 时间限制：

   • 您需要在规定的期限内提出重新鉴定申请。不同类型的案件和不同地区对此规定可能有所差异，因此您应及时了解并遵守相关规定。

综上所述，当您对自己委托的鉴定机构的结果不认可时，在符合法定条件的情况下，您有权申请重新鉴定。但请务必严格遵守法定条件和程序，并在提出申请前充分评估其理由和依据的充分性。同时，也应尊重相关机构的审查决定，积极配合后续操作。