大学教师与学校劳动合同到期后，通常有以下几种处理方式，我将结合不同情况为您详细说明：

1. 合同到期后双方协商一致续签
   若教师与学校均希望继续合作，可在合同到期前通过协商续签劳动合同。根据《劳动合同法》第十四条，续签时需注意：
   

• 若连续订立两次固定期限合同（如两次3年合同），且教师无严重违纪或不能胜任工作的情况，学校应签订无固定期限合同；
  
• 续签内容（如薪资、岗位、工作地点等）需双方协商一致，任何一方不得强制要求变更核心条款。

1. 合同到期后学校不续签
   若学校因客观原因（如学科调整、编制缩减等）决定不续签，需依法向教师支付经济补偿：
   

• 补偿标准：按教师在本单位工作年限计算，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年算，不满6个月支付半个月工资）；
  
• 特殊情形：若教师因患病或非因工负伤在医疗期内、女职工在孕期/产期/哺乳期，或教师在本单位连续工作满15年且距法定退休年龄不足5年，学校不得终止合同，否则可能构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿的2倍）。

1. 合同到期后教师不续签
   若教师因个人原因（如职业规划、薪资不满等）不愿续签，需注意：
   

• 需提前书面通知学校（通常为30日），避免因未履行通知义务承担违约责任；
  
• 若学校存在未及时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社保、未提供劳动条件等违法行为，教师可依据《劳动合同法》第三十八条主张被迫解除合同，并要求经济补偿。

1. 合同到期后未及时续签但继续工作
   若双方未明确表示不续签，且教师继续在原岗位工作，可能形成事实劳动关系：
   

• 根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，此时视为双方同意以原条件继续履行合同，学校应在1个月内补签书面合同；
  
• 若超过1个月未补签，教师可要求学校支付未签合同期间的双倍工资（最长不超过11个月）。

建议行动步骤：

1. 合同到期前1-2个月，主动与学校人事部门沟通续签意向；
   
2. 若学校提出不续签，要求出具书面通知并核对补偿计算方式；
   
3. 若决定不续签，保留工作交接记录，避免后续纠纷；
   
4. 遇到复杂情况（如学校违法解除、未支付补偿等），可整理劳动合同、工资记录、沟通记录等证据，向我进一步咨询具体维权方案。

如有其他细节需要补充或具体案例需要分析，欢迎随时向我提问。