针对您提出的“大学教师编外人员合同到期怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，大学教师编外人员，即非事业编制的教师，其聘用关系通常是通过签订劳动合同来确立的。因此，当合同到期时，处理方式会依据劳动合同法的相关规定以及您与学校（或派遣单位，如果是劳务派遣情况）之间的具体约定来执行。
一、合同到期不续约的一般情况
了解合同内容：
- 在合同到期前，您应仔细阅读合同条款，特别是关于合同终止、续约、解约以及经济补偿等方面的规定。
与学校或派遣单位沟通：
- 如果您希望继续留任，可以主动与学校或派遣单位的人力资源部门沟通，表达您的意愿，并询问是否有续约的可能性。
- 如果学校或派遣单位表示不续约，您可以询问不续约的原因，并了解是否有其他可能的解决方案或补偿措施。
办理离职手续：
- 如果合同确实不续约，您需要按照学校或派遣单位的要求，办理离职手续，包括交接工作、归还学校财产、办理社保和公积金转移等。
二、特殊情况下的处理（如孕期、产期、哺乳期）
如果您在合同到期时处于孕期、产期或哺乳期，根据《中华人民共和国劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，您的劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着：
- 合同自动续延：即使原合同到期，您的劳动合同也会自动续延至您哺乳期结束。
- 原福利待遇不变：在续延期间，您应继续享受与原合同相同的福利待遇。
- 不得违法解除：学校或派遣单位不得在此期间违法解除或终止您的劳动合同。如果学校或派遣单位执意不续签，属于违法解除，您有权要求继续履行合同或要求支付赔偿金。
三、争议解决途径
如果您与学校或派遣单位在合同到期处理上存在争议，可以采取以下途径解决：
协商：
- 首先尝试与学校或派遣单位进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。
申请劳动仲裁：
- 如果协商不成，您可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，要求学校或派遣单位继续履行合同或支付赔偿金。
起诉至法院：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、注意事项
- 保留证据：在处理合同到期事宜时，请务必保留好相关证据，如合同、工资单、医疗证明等，以便在需要时证明自己的权益。
- 关注个人权益保障：在离职或合同续延期间，要关注自己的个人权益保障，包括生育津贴、产假、医疗费用等方面，确保自己不会因为这些变化而受到不利的影响。
综上所述，当大学教师编外人员的合同到期时，您应根据自己的具体情况和合同条款来采取相应的措施。如果遇到特殊情况或争议，请及时与学校或派遣单位沟通，并寻求法律途径解决。希望这些解答能对您有所帮助。