结论概述：延期羁押到期时，若案件未办结且无法定继续羁押理由，一般会立即释放犯罪嫌疑人或被告人；若案件需要继续查办，可依法变更强制措施，如取保候审、监视居住等。具体何时放人或变更强制措施，需根据案件实际情况和法律规定综合判断。

法律规定与具体操作：

• 羁押期限与释放：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人、被告人被羁押的案件，若不能在法律规定的侦查羁押、审查起诉、一审、二审期限内办结，对犯罪嫌疑人、被告人应当予以释放。这一规定确保了犯罪嫌疑人的合法权益不受侵犯。例如，若某案件在侦查羁押期限内未能查清全部事实，但羁押期限已满，且无法定继续羁押理由，那么公安机关应当立即释放犯罪嫌疑人。
• 变更强制措施：若案件需要继续查证、审理，但羁押期限已满，可以依法变更为取保候审或监视居住等强制措施。这一做法既保证了案件的继续查办，又避免了超期羁押的问题。例如，在某起经济犯罪案件中，犯罪嫌疑人被羁押期限已满，但案件仍需进一步查证，此时公安机关可以依法变更为取保候审措施，允许犯罪嫌疑人在一定条件下暂时离开看守所，以便案件的进一步查办。
• 羁押期限的延长：虽然对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限一般不得超过二个月，但案情复杂、期限届满不能终结的案件，经上一级人民检察院批准，可以延长一个月。特别重大复杂的案件，还可依法进一步延长。然而，无论如何延长，都必须严格遵守法律程序和规定，确保犯罪嫌疑人的合法权益得到保障。

实际操作流程与注意事项：

• 在羁押期限届满前，办案机关会对案件进行审查，判断是否符合继续羁押的条件。若羁押期限已满且无继续羁押的法定理由，办案机关会作出释放决定，并由执行机关（一般是看守所）立即办理释放手续。
• 若案件需要继续查办，办案机关会依法变更强制措施，并根据案件实际情况和法律规定来判断何时放人或变更强制措施。在此过程中，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权申请变更强制措施，办案机关收到申请后，应在三日以内作出决定，并告知申请人结果及理由。

可能遇到的法律后果与建议：

• 若办案机关未依法在羁押期限届满时释放犯罪嫌疑人或被告人，或未依法变更强制措施，可能构成超期羁押，侵犯犯罪嫌疑人的合法权益。此时，犯罪嫌疑人、被告人或其法定代理人、近亲属、辩护人可以向有关机关提出申诉或控告，要求纠正违法行为。
• 鉴于法律程序的复杂性和专业性，若您或您的亲友面临延期羁押到期的问题，建议直接向我咨询，我会根据案件的具体情况和法律规定，为您提供针对性的法律分析和建议，确保您的合法权益得到充分保障。