结论：老年人自己来医院，家属不同意治疗送回家后死亡，医院是否有责任需根据具体情况判断，包括医院是否履行了充分告知义务、诊疗行为是否存在过错、患者死亡与诊疗行为是否存在因果关系等。以下从不同角度进行分析：
一、医院是否履行充分告知义务
若医院未履行充分告知义务：
- 根据《民法典》第一千二百一十九条，医务人员在诊疗活动中应当向患者说明病情和医疗措施。需要实施手术、特殊检查、特殊治疗的，医务人员应当及时向患者具体说明医疗风险、替代医疗方案等情况，并取得其明确同意；不能或者不宜向患者说明的，应当向患者的近亲属说明，并取得其明确同意。
- 若医院在老年人就诊时，未充分告知其病情、治疗方案及可能的风险，导致老年人或家属在未充分了解情况的情况下做出拒绝治疗的决定，医院可能因未履行充分告知义务而承担一定责任。
若医院已履行充分告知义务：
- 若医院已向老年人或家属详细说明了病情、治疗方案及风险，并提供了合理的医疗建议，但家属仍坚持拒绝治疗并将患者送回家，此时医院已尽到其应尽的义务，一般不因患者死亡而承担责任。
二、诊疗行为是否存在过错
若诊疗行为存在过错：
- 若医院在诊疗过程中存在违反诊疗规范、用药错误、操作不当等过错行为，且这些过错行为与患者的死亡存在因果关系，医院应承担相应的赔偿责任。
- 例如，若医院未对老年人的病情进行充分评估，错误地判断其病情稳定可以出院，或未给予必要的治疗建议，导致患者回家后病情恶化死亡，医院可能需承担过错责任。
若诊疗行为无过错：
- 若医院在诊疗过程中严格遵守了诊疗规范，采取了合理的治疗措施，且患者的死亡与医院的诊疗行为无直接因果关系，医院则不承担责任。
- 例如，老年人因自身疾病严重，即使在医院接受治疗也难以挽救生命，家属拒绝治疗后患者死亡，此时医院无过错，不承担责任。
三、患者死亡与诊疗行为的因果关系
若存在因果关系：
- 若患者的死亡与医院的诊疗行为存在直接或间接的因果关系，如医院未及时诊断、治疗不当导致病情恶化等，医院应承担相应的赔偿责任。
若不存在因果关系：
- 若患者的死亡完全由自身疾病或其他非医疗因素导致，与医院的诊疗行为无因果关系，医院则不承担责任。
- 例如，老年人因突发心脏病死亡，且医院在诊疗过程中已尽到合理注意义务，此时医院的诊疗行为与患者死亡无因果关系，不承担责任。
四、特殊情况下的责任判定
- 家属拒绝治疗的影响：
- 若家属在明知患者病情严重且需要紧急治疗的情况下，仍坚持拒绝治疗并将患者送回家，导致患者死亡，家属可能需承担一定的责任。但此责任与医院的责任是独立的，医院仍需根据其诊疗行为是否存在过错及与患者死亡的因果关系来判断是否承担责任。
建议：
- 对于此类纠纷，建议家属和医院首先通过协商解决。若协商不成，可申请医疗事故鉴定或司法鉴定，以明确医院的诊疗行为是否存在过错及与患者死亡的因果关系。
- 家属在拒绝治疗前应充分了解患者的病情及可能的风险，并考虑患者的最佳利益。医院则应严格遵守诊疗规范，充分履行告知义务，确保患者的知情权。
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