结论：仅凭一个私人号码来电自称是当地仲裁单位，并不能直接确认其真实性。为了验证其身份，你可以采取一系列措施来核实。
分析说明：
核实来电号码：
- 首先，你可以通过官方渠道，如当地仲裁委员会的官方网站或公开的联系电话，来核实来电号码是否与其官方号码一致。
- 如果来电号码与官方号码不符，那么该来电很可能存在欺诈风险。
要求提供官方信息：
- 在接到此类来电时，你可以要求对方提供其所在仲裁单位的具体名称、地址、官方联系电话等信息。
- 随后，你可以通过这些信息进一步核实对方的身份和来电的真实性。
注意来电内容：
- 真正的仲裁单位在联系你时，通常会提供明确的案件信息、仲裁请求或相关法律程序说明。
- 如果来电内容含糊不清、缺乏具体细节或要求你提供敏感个人信息（如银行账户、密码等），那么应高度警惕，这可能是诈骗电话。
不轻易透露个人信息：
- 在未核实对方身份的情况下，切勿轻易透露你的个人信息，特别是与案件无关或敏感的信息。
直接联系仲裁单位：
- 如果你对来电的真实性存在疑虑，最直接的方法是主动联系当地仲裁单位，通过官方渠道确认是否有相关案件或通知与你有关。
后续行动建议：
- 保持警惕：对于任何未经核实的来电，都应保持警惕，特别是那些要求你提供个人信息或进行资金操作的来电。
- 及时核实：如果你接到此类来电，应尽快通过官方渠道核实其真实性，以免遭受不必要的损失。
- 寻求法律帮助：如果你对来电内容或相关法律程序存在疑问，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
特殊场景提醒：
- 如果你确实涉及劳动仲裁案件，并且已经提交了仲裁申请或收到了仲裁通知，那么仲裁单位可能会通过电话与你联系。但即便如此，你也应通过官方渠道核实来电的真实性，以确保你的权益不受损害。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议仲裁委员会负责处理劳动争议案件，并有权通知当事人参加仲裁活动。但仲裁委员会在联系当事人时，应遵循法定程序和规定，确保当事人的合法权益不受侵害。
如果你有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。