私人陪护在工作期间，雇主外出意外死亡，责任的承担需根据具体情况来判定。以下是从不同角度进行的分析：
一、雇主的责任
安全保障义务：
- 雇主作为接受劳务的一方，对私人陪护在工作期间的安全负有保障义务。如果雇主未能提供安全的工作环境，或者未能对陪护进行必要的安全教育和指导，导致陪护在雇主外出期间因工作原因受到伤害或发生意外，雇主应承担相应的赔偿责任。但在此案例中，雇主是外出期间意外死亡，若陪护的伤害或意外并非由雇主直接造成，则雇主的责任可能相对有限。
雇主死亡后的责任处理：
- 如果雇主死亡，其遗产继承人可能需要在继承的遗产范围内承担相应的赔偿责任。但这通常适用于雇主因过错导致陪护受害的情况。若雇主的死亡与陪护的受害无直接因果关系，则遗产继承人可能不承担赔偿责任。
二、私人陪护的责任
注意义务：
- 私人陪护作为提供劳务的一方，在工作期间也应尽到合理的注意义务。如果陪护在雇主外出期间未能妥善照顾自己或遵守工作规范，导致自身受到伤害或发生意外，那么陪护自身也应承担一定的责任。
过错行为：
- 如果陪护的受害是由于自己的故意或重大过失行为导致的，如擅自离开工作岗位、违反安全规定等，那么陪护可能需要承担更大的责任。
三、第三方的责任
第三方侵权：
- 如果陪护的受害是由于第三方的行为导致的，如其他访客的故意伤害、交通事故等，那么陪护有权请求第三方承担侵权责任。
雇主与第三方的关系：
- 在某些情况下，雇主可能因未尽到对陪护的安全保障义务而需对第三方的侵权行为承担一定的补充责任。但这通常取决于具体的法律条款和案件事实。
四、法律建议
收集证据：
- 无论是陪护还是雇主的家属，都应尽快收集相关证据，如工作记录、现场照片、证人证言等，以证明各自的主张。
法律咨询：
- 在此情况下，建议陪护或雇主的家属及时咨询专业律师，以了解具体的法律责任和赔偿途径。律师可以根据案件事实和法律规定，提供针对性的法律建议。
协商与诉讼：
- 在责任明确后，双方可以尝试通过协商解决赔偿问题。如果协商不成，陪护或雇主的家属可以向法院提起诉讼，要求相关责任方承担赔偿责任。
总结来看，私人陪护在工作期间雇主外出意外死亡的责任承担需根据具体情况来判定。如果涉及复杂的法律问题或责任划分不明确的情况，建议及时咨询专业律师以获取准确的法律建议。如果有任何法律问题，可以直接向我提问。