关于一家投标单位的负责人是另一家单位的监事是否构成串通投标的问题，不能一概而论，需结合具体情况及相关法律规定进行综合判断。以下是从不同角度进行的分析：

1. 串通投标的法律定义

根据《中华人民共和国招标投标法》及相关实施条例，串通投标通常指的是投标人之间或者投标人与招标人之间相互串通，损害国家利益、社会公共利益或者他人合法权益的行为。这包括但不限于：

• 投标人之间协商投标报价等投标文件的实质性内容；
• 投标人之间约定中标人；
• 投标人之间约定部分投标人放弃投标或者中标；
• 属于同一集团、协会、商会等组织成员的投标人按照该组织要求协同投标；
• 投标人之间为谋取中标或者排斥特定投标人而采取的其他联合行动。

2. 监事身份与串通投标的关系

监事作为公司治理结构中的一部分，主要职责是监督公司的财务和业务活动，确保公司合规运营。一家投标单位的负责人同时担任另一家单位的监事，并不直接等同于串通投标。这种身份的重叠，本身并不构成法律上的串通投标行为，除非有证据表明这种身份关系被用于实施串通投标的行为。

3. 判断串通投标的关键因素

• 行为表现：是否存在上述法律定义的串通投标行为，如协商报价、约定中标人等。
• 证据支持：是否有直接或间接的证据表明两家单位之间存在串通投标的合意或行为。
• 利益关联：除了监事身份外，两家单位之间是否存在其他利益关联，如股权控制、共同投资等，这些因素可能增加串通投标的风险。

4. 法律后果与风险防范

• 法律后果：如果经查实存在串通投标行为，相关单位和个人可能面临罚款、没收违法所得、取消投标资格等行政处罚，甚至可能承担刑事责任。
• 风险防范：对于投标单位而言，应建立健全内部合规机制，确保投标活动的独立性和公正性；对于招标人而言，应加强对投标活动的监督和管理，及时发现并制止串通投标行为。

5. 具体建议

• 审查证据：如果怀疑存在串通投标行为，应首先收集并审查相关证据，包括但不限于投标文件、通信记录、资金往来等。
• 咨询专业律师：在涉及复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取准确和全面的法律意见。
• 合规操作：确保所有投标活动均符合相关法律法规和招标文件的要求，避免任何可能引发串通投标嫌疑的行为。

综上所述，一家投标单位的负责人是另一家单位的监事，并不直接构成串通投标。判断是否构成串通投标，需结合具体行为表现、证据支持以及利益关联等因素进行综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。