结论前置：

1. 若该儿子是母亲与他人合法婚姻关系下所生：其作为母亲的法定继承人，对母亲的遗产享有继承权，但不直接继承父亲遗产（除非存在特殊财产混同或遗嘱安排）。
   
2. 若该儿子是母亲与他人非婚生子女：其仍为母亲的法定继承人，对母亲遗产享有继承权；对父亲遗产无直接继承权，除非父亲生前通过遗嘱明确指定其继承。
   

核心前提与法律分析

根据《中华人民共和国民法典》继承编，继承权的认定需结合血缘关系、婚姻关系及财产性质综合判断：

一、对母亲遗产的继承权

1. 婚生子女与非婚生子女的平等地位
   根据《民法典》第1071条，非婚生子女与婚生子女享有同等权利。因此，无论母亲与他人所生儿子是否为婚生，均属于母亲的法定继承人，可继承母亲遗产中属于其个人财产的部分（如母亲再婚前的个人财产、再婚后夫妻共同财产中属于母亲的部分）。

2. 继承顺序与份额
   若母亲未立遗嘱，其遗产按法定继承处理：第一顺序继承人为配偶、子女、父母。该儿子作为子女之一，与其他子女（包括父亲与母亲所生子女）平均分配母亲遗产。

二、对父亲遗产的继承权

1. 血缘关系是关键
   父亲去世后，其遗产的法定继承人包括配偶、父母、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）。但母亲与他人所生儿子与父亲无血缘关系，除非存在以下情形，否则无继承权：

   • 父亲通过遗嘱指定其继承：遗嘱可突破法定继承限制，但需符合形式要件（如自书遗嘱需本人书写、签名并注明年月日）。
     
   • 存在事实收养关系：若父亲生前与该儿子形成法律认可的收养关系（如办理收养登记），则其作为养子女享有继承权。但仅“共同生活”不构成收养，需严格符合法定条件。
     

2. 特殊情形：财产混同
   若父亲去世后，母亲将与父亲共同财产中属于自己的部分赠与该儿子（如通过遗嘱或生前赠与），则该儿子可能间接获得父亲遗产中的部分财产，但这属于财产流转问题，非直接继承。

实务建议

1. 明确财产性质：区分父亲遗产、母亲个人财产及夫妻共同财产，避免混淆。
   
2. 核查遗嘱存在：若父亲或母亲留有遗嘱，需按遗嘱内容执行，可能颠覆法定继承结果。
   
3. 协商或诉讼解决争议：若继承人间对遗产分配有争议，可通过协商、调解或诉讼解决，法院将依据证据和法律作出判决。
   

提示：继承问题涉及家庭关系与财产权益，建议整理相关财产凭证（如房产证、银行流水、遗嘱等）后，进一步向我提供细节，以便更精准分析。