结论前置：患癌后，员工在医疗期内一般不可以要求公司解除劳动合同，但公司也不得随意解除；医疗期满后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，且符合法定条件，公司可依法解除劳动合同并支付相应补偿。同时，员工在某些特定情况下也可以主动提出解除劳动合同。
详细分析：
一、医疗期内的保护
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，公司不能因员工患癌而随意解除劳动合同。
医疗期定义与时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。其时长根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。对于特殊癌症情况，经劳动能力鉴定委员会确认，医疗期可适当延长。
员工权益：
- 在医疗期内，员工享有不被解除劳动合同的保护，同时应积极配合治疗，争取早日康复。若公司违反规定在医疗期内解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行合同或支付赔偿金。
二、医疗期届满后的处理
公司可以解除劳动合同的情形：
- 若员工在医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。在此情况下，公司需按法律规定支付经济补偿金，以及不低于六个月工资的医疗补助费。对于患重病和绝症的员工，医疗补助费还需相应增加。
公司不得解除劳动合同的情形：
- 若员工在医疗期满后，虽不能从事原工作，但能从事公司另行安排的工作，或经劳动能力鉴定委员会鉴定为一至四级伤残（完全丧失劳动能力），则公司不得解除劳动合同，应保留劳动关系并退出工作岗位。
员工主动解除劳动合同：
- 在医疗期满后，若员工因病情严重，无法继续履行工作职责，且经过医疗期治疗后仍无法改善，员工也可以主动提出与公司解除劳动合同。此时，员工应与公司协商好解除劳动合同的相关事宜，如经济补偿等。
三、特殊情况下的协商解除
- 在极少数特殊情况下，如员工癌症病情严重到无法继续履行工作职责，且经过医疗期治疗后仍无法改善，公司可能在与员工协商一致的前提下，解除劳动合同。但此举需谨慎操作，并确保符合所有法定条件，如支付相应的经济补偿金等。
四、员工权益保障与建议
- 了解权益：员工应了解自己的权益和义务，特别是在患病期间，应确保自己的合法权益不受侵害。
- 积极沟通：与公司保持积极沟通，及时告知病情和治疗情况，以便公司合理安排工作或提供必要的支持。
- 寻求帮助：如遇纠纷或公司违反规定解除劳动合同，员工有权向劳动仲裁机构或法院申请仲裁或提起诉讼，以维护自己的合法权益。
示例说明：
假设某员工在公司工作5年，不幸患癌后进入医疗期。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同。若医疗期满后，该员工仍无法从事原工作或公司另行安排的工作，且符合法定条件，公司可以依法解除劳动合同并支付相应补偿。若该员工在医疗期满后主动提出解除劳动合同，也应与公司协商好相关事宜。
总结与建议：
患癌后员工与公司的劳动合同关系处理需严格遵循法律法规，确保双方权益得到妥善保障。员工应了解自己的权益和义务，积极与公司沟通；公司也应遵循法律法规，尊重员工权益，给予必要的关怀和支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。