结论是：即使没有签订书面租赁合同，房东仍可能因未尽到安全保障义务而需要承担一定的赔偿责任。以下从不同角度进行分析：
一、租赁合同关系的认定
口头合同的有效性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁合同可以是口头的，也可以是书面的。只要双方就租赁事宜达成一致，且内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，口头合同同样具有法律效力。
- 在您的情况下，虽然没有签订书面租赁合同，但如果双方已经实际履行了租赁行为（如您已经入住并支付了租金），则口头租赁合同成立。
租赁关系的证明：
- 如果没有书面合同，您可能需要通过其他证据来证明租赁关系的存在，如租金支付凭证、与房东的沟通记录、物业或邻居的证言等。
二、房东的安全保障义务
安全保障义务的内容：
- 房东作为出租方，有义务确保租赁物（包括房屋及其附属设施）符合安全使用的标准。这包括提供必要的照明设施，以确保租客在正常使用过程中不会因设施缺陷而受伤。
- 如果楼梯没有灯，且这一缺陷与您的摔伤有直接因果关系，那么房东可能因未尽到安全保障义务而需要承担责任。
安全保障义务的违反：
- 如果房东明知楼梯没有灯，却未采取任何措施进行修复或提供临时照明，导致您摔伤，那么房东的行为可能构成对安全保障义务的违反。
三、赔偿责任的承担
赔偿责任的构成要件：
- 要确定房东是否需要承担赔偿责任，需要满足以下条件：房东存在过错（如未尽到安全保障义务）、您的摔伤与房东的过错存在因果关系、您因此遭受了损失（如医疗费用、误工费等）。
赔偿范围的确定：
- 如果房东需要承担赔偿责任，赔偿范围通常包括您因摔伤而产生的直接经济损失，如医疗费用、护理费、误工费等。具体赔偿金额需要根据您的实际损失和房东的过错程度来确定。
四、建议与措施
收集证据：
- 建议您尽快收集与租赁关系、摔伤事实以及房东过错相关的证据，如医疗记录、租金支付凭证、与房东的沟通记录、现场照片或视频等。
与房东协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与房东进行协商，要求其承担相应的赔偿责任。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的权益。
在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径来维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。