结论前置：即使没有书面合同，如果能够证明存在事实上的委托放牛关系，并且因对方过错导致牛丢失，仍然可以起诉要求赔偿。以下从不同角度进行分析：

一、法律关系分析

1. 合同关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第四百六十九条，合同可以是书面、口头或其他形式。即使没有书面合同，只要双方存在事实上的委托放牛关系（如口头约定、长期合作习惯等），即可认定合同关系成立。
   • 例如：甲口头委托乙放牛，乙实际履行了放牛义务，双方形成事实上的委托合同关系。

2. 侵权责任的认定：

   • 如果放牛人（乙）因故意或重大过失导致牛丢失（如未尽到看管义务、擅自离岗等），根据《民法典》第一千一百六十五条，构成侵权责任，牛主人（甲）有权要求赔偿。
   • 例如：乙放牛时玩手机导致牛走失，属于重大过失，需承担赔偿责任。

二、举证责任与证据收集

1. 证明合同关系存在：

   • 需提供证据证明双方存在委托放牛的合意，如：
     • 证人证言（如邻居、村民证明乙长期为甲放牛）；
     • 通话记录、短信、微信聊天记录（如甲委托乙放牛的对话）；
     • 支付记录（如甲向乙支付放牛费用的转账凭证）。

2. 证明牛丢失及因果关系：

   • 需提供证据证明牛丢失的事实及与乙行为的因果关系，如：
     • 报警记录（如甲发现牛丢失后报警）；
     • 现场照片、视频（如牛丢失地点的监控录像）；
     • 牛的价值证明（如购买发票、市场价格评估）。

三、诉讼流程与赔偿计算

1. 诉讼流程：

   • 起诉：向被告住所地或合同履行地法院提交起诉状，附上证据材料。
   • 立案：法院审查后决定是否立案，并通知双方。
   • 开庭审理：双方举证、质证，法院查明事实后作出判决。
   • 执行：如乙不履行判决，甲可申请法院强制执行。

2. 赔偿计算：

   • 赔偿金额通常以牛的实际价值为准，计算公式为：

     
     赔偿金额 = 牛的市场价值 - 乙已支付的赔偿（如有）
     

   • 例如：牛的市场价值为1万元，乙未支付任何赔偿，则赔偿金额为1万元。

四、风险提示与建议

1. 风险提示：

   • 如果无法证明合同关系或乙无过错（如牛因雷击、洪水等不可抗力丢失），可能败诉。
   • 诉讼需耗费时间、精力，建议优先协商解决。

2. 建议：

   • 协商解决：与乙沟通，要求其赔偿部分或全部损失。
   • 调解：通过村委会、派出所等第三方调解机构协调解决。
   • 诉讼：如协商、调解无果，再考虑起诉。

总结：没有书面合同不影响起诉，但需充分证明合同关系及乙的过错。建议先收集证据，再根据情况选择协商、调解或诉讼。如有进一步问题，可直接向我咨询。