结论前置：孩子午托被打伤，一般不能直接找市场监管部门，而应根据具体情况选择向公安机关报案、向教育行政部门反映或通过民事诉讼途径解决。以下是具体分析：

1. 市场监管部门的职责范围
   市场监管部门主要负责市场秩序监管、消费者权益保护、产品质量监督等工作，例如查处无证经营、虚假宣传、食品安全等问题。但孩子被打伤属于人身伤害事件，通常不在市场监管部门的职权范围内，因此直接找市场监管部门可能无法有效解决问题。

2. 正确的处理途径

   • 向公安机关报案：如果打人者涉嫌故意伤害（尤其是造成轻伤及以上后果），应立即报警，由公安机关立案调查，追究打人者的刑事责任或行政责任。
     
   • 向教育行政部门反映：如果午托机构属于教育或托管服务范畴，且存在管理失职（如未尽到安全保障义务），可向当地教育局或相关主管部门投诉，要求对机构进行监管或处罚。
     
   • 民事诉讼索赔：家长可以打人者、午托机构为被告，向法院提起民事诉讼，要求赔偿医疗费、护理费、精神损害抚慰金等损失。

3. 需注意的关键点

   • 证据收集：及时保留现场照片、视频、证人联系方式、医疗记录等证据，证明伤害事实和因果关系。
     
   • 责任主体：明确打人者是午托机构工作人员、其他孩子还是外来人员，责任主体不同，处理方式也有差异。
     
   • 时效性：人身损害赔偿诉讼时效为3年，需在法定期间内主张权利。

总结：孩子午托被打伤需根据伤害性质、责任主体选择对应途径，市场监管部门并非直接责任部门。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律程序和证据要求。