老公立了遗嘱给妻子，私生子在一般情况下是没有继承权的，但具体还需根据遗嘱内容及实际情况来判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
遗嘱继承的优先性
遗嘱的效力：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱是公民生前对其财产所作的处分行为，且在其死亡后发生法律效力。如果老公在遗嘱中明确指定了妻子为其财产的唯一继承人，那么在没有其他法定情形（如遗嘱无效）的情况下，妻子将按照遗嘱继承老公的财产。
私生子的继承权：私生子，即非婚生子女，在法律上享有与婚生子女同等的继承权。然而，这种继承权主要适用于法定继承的情形。在遗嘱继承中，继承人的范围和份额完全由遗嘱人决定。因此，如果遗嘱中没有提及私生子，或者明确排除了私生子的继承权，那么私生子将无法通过遗嘱继承获得财产。
特殊情况下的继承权
遗嘱无效的情形：如果遗嘱存在无效的情形（如遗嘱人无民事行为能力、遗嘱内容违法等），那么遗嘱将不被执行，此时将按照法定继承来处理。在法定继承中，私生子作为第一顺序继承人之一，有权继承老公的财产。但这种情况较为特殊，且需要法律程序来确认遗嘱的无效性。
遗嘱未涵盖全部财产：如果遗嘱只涵盖了老公的部分财产，而未涵盖的财产部分将按照法定继承来处理。在这种情况下，私生子作为第一顺序继承人，有权继承未涵盖部分的财产。但同样，这需要具体分析遗嘱的内容和财产的分配情况。
法律建议与后续行动
审查遗嘱内容：如果私生子对遗嘱内容有异议，或者认为遗嘱存在无效的情形，建议私生子或其法定代理人及时审查遗嘱内容，并咨询专业律师以获取法律意见。
协商与调解：在家庭内部，可以尝试通过协商和调解的方式来解决继承问题。这有助于维护家庭和谐，避免不必要的法律纠纷。
法律程序：如果协商和调解无果，或者遗嘱内容确实存在争议，那么可能需要通过法律程序来解决继承问题。在这种情况下，建议私生子或其法定代理人及时寻求法律援助，并准备相关证据以支持其主张。
最后需要强调的是，每个案件都有其独特性和复杂性。因此，在处理类似问题时，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更为准确和全面的法律建议。