结论前置：

1. 没有合同被辞退的赔偿问题：若未签订书面劳动合同，您仍有权要求公司支付违法解除劳动关系的赔偿金，并可主张未签合同期间的双倍工资差额。
2. 公司后补合同是否合法：后补合同本身不违法，但需满足特定条件（如双方自愿、内容合法），且无法改变此前未签合同的事实及相应法律责任。

一、没有合同被辞退的赔偿问题

根据《劳动合同法》及相关规定，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，又违法解除劳动关系的，需承担双重法律责任：

1. 违法解除赔偿金：

   • 若公司无合法理由辞退您（如不符合《劳动合同法》第39条规定的过失性辞退情形），需支付赔偿金，标准为经济补偿金的2倍。
   • 经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的，按1年计算；不满6个月的，支付半个月工资。
   • 示例：若您工作1年3个月，月工资5000元，赔偿金为（1.5个月×5000元）×2=15000元。

2. 未签合同的双倍工资差额：

   • 用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未签书面劳动合同的，需向劳动者每月支付2倍工资（扣除已支付部分）。
   • 计算方式：双倍工资差额=月工资×未签合同月数（最多11个月）。
   • 示例：若您工作8个月未签合同，月工资5000元，差额为5000元×7个月（第2个月至第8个月）=35000元。

行动建议：

• 收集能证明劳动关系的证据（如工资流水、考勤记录、工作证、同事证言等）。
• 向公司书面主张权利（如发送律师函或自行协商），保留沟通记录。
• 若协商无果，可向劳动仲裁委申请仲裁，主张赔偿金及双倍工资差额。

二、公司后补合同是否合法

后补合同本身不违法，但需满足以下条件：

1. 双方自愿：合同内容需经您与公司协商一致，不得存在胁迫、欺诈等情形。
2. 内容合法：合同条款需符合《劳动合同法》规定（如工资、工时、社保等）。
3. 无法改变此前责任：后补合同仅能规范未来劳动关系，无法免除公司此前未签合同及违法解除的法律责任。

风险提示：

• 若公司以“后补合同”为由拒绝支付赔偿金或双倍工资，您仍可主张权利，因法律责任以“事实劳动关系”存在为前提，而非合同签订时间。
• 若后补合同中存在“放弃此前权利”等条款，可能因显失公平被认定无效。

行动建议：

• 审查后补合同条款，确保无不利约定（如放弃赔偿、缩短工时等）。
• 若公司拒绝赔偿，可拒绝签署后补合同，并直接申请仲裁。
• 若已签署后补合同，仍可就此前未签合同期间主张双倍工资差额（需在仲裁时效内，通常为1年）。

三、综合建议

1. 优先协商：与公司沟通，明确要求支付赔偿金及双倍工资差额，并保留书面证据。
2. 及时仲裁：若协商无果，尽快向劳动仲裁委申请仲裁（时效为1年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算）。
3. 证据固定：无论是否签署后补合同，均需保留能证明劳动关系的证据，以备仲裁或诉讼使用。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您提供详细方案。