若第三方公司（这里假设为用人单位）在续签合同时没有给员工，员工可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
与公司进行友好协商：
- 员工首先可以尝试与公司进行沟通和协商，明确表达自己希望续签合同的意愿，并要求公司尽快提供续签的合同文本。
- 在协商过程中，员工可以保留书面沟通记录（如邮件、短信等），以便后续维权时作为证据。
向劳动监察部门投诉：
- 如果公司拒绝续签或未给出合理答复，员工可以向当地的劳动监察部门投诉。
- 劳动监察部门有权责令公司改正其不当行为，并要求公司支付因未续签合同而可能产生的经济补偿。
申请劳动仲裁：
- 若协商和投诉均无果，员工可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，员工需要提交相关证据，如原劳动合同、工作证明、工资支付凭证等，以证明自己与公司存在劳动关系，并要求公司支付未续签期间的双倍工资（如果适用）以及经济补偿。
- 仲裁委员会将依法进行裁决，员工需遵守仲裁结果。如果对仲裁结果不服，还可以在规定期限内向法院提起诉讼。
关于经济补偿的计算方式：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，如果公司无故拒绝续签合同，员工有权要求公司支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常是按照员工在本单位工作的年限来确定，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
在维权过程中，员工需要注意以下几点：
- 保留好所有与公司的沟通记录和相关证据，以便在需要时提供证明。
- 及时了解自己的权益和法律条款，确保自己的诉求合理合法。
- 在维权过程中保持冷静和理性，避免采取过激行为。
后续关注要点：
- 员工在维权成功后，应与公司明确续签合同的条款和条件，确保自己的权益得到充分保障。
- 如果员工选择继续留在公司工作，应与公司保持良好的沟通，确保合同的顺利履行。
希望以上建议能对你有所帮助。如果你在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律支持和建议。