针对机关下属单位负责人外逃的处理问题，核心前提在于该负责人可能涉及职务违法或犯罪行为，且已采取逃避法律制裁的行动。以下从法律程序和实务操作角度，分情况说明处理方式：

1. 启动内部调查与报案程序
   机关应立即成立专项调查组，核查负责人外逃前是否存在经济问题、滥用职权等违法行为。若发现涉嫌职务犯罪（如贪污、受贿、挪用公款等），需在24小时内向同级纪检监察机关或公安机关报案，并提交初步证据材料（如财务记录、合同文件、电子数据等）。根据《监察法》第34条，监察机关对公职人员职务违法和犯罪有管辖权，公安机关对普通刑事犯罪立案侦查。

2. 国际司法合作与引渡申请
   若负责人逃往境外，需通过外交渠道或国际刑警组织（INTERPOL）发布红色通缉令。根据《引渡法》第7条，引渡需满足双重犯罪原则（即行为在两国均构成犯罪）和条约优先原则（优先适用中国与逃往国签订的引渡条约）。实务中，可先通过“劝返”方式（如委托境外律师或中间人沟通）促使负责人自愿回国，再依法处理。

3. 资产冻结与追缴
   机关应同步申请法院对负责人及其关联人的境内资产进行冻结，防止财产转移。根据《刑事诉讼法》第144条，公安机关、检察院可对涉案财产采取查封、扣押、冻结措施。若资产已转移至境外，需依据《联合国反腐败公约》及双边司法协助条约，通过外国法院承认与执行中国民事判决的方式追缴。

4. 内部问责与制度完善
   机关需对下属单位的管理漏洞进行整改，例如加强财务审计、关键岗位轮岗、离任审计等制度。根据《公职人员政务处分法》第39条，对负有领导责任的人员可给予警告、记过、记大过直至开除处分。

实务建议：

• 优先固定电子证据（如邮件、聊天记录、转账记录），防止负责人远程删除数据；
  
• 避免公开宣扬“外逃”性质，防止引发舆论风险或干扰司法程序；
  
• 若涉及重大经济案件，可协调检察院提前介入，指导调查方向。
  

如有具体案情或证据材料，可进一步提供细节，我将结合《刑法》《监察法实施条例》等法规，分析刑事责任认定及量刑情节。