不履行法定职责的行政复议申请期限，一般是在知道该具体行政行为之日起60日内提出，但具体起算点需根据实际情况判断。以下是对此问题的详细分析：
一、一般原则
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，通常可以自知道该具体行政行为之日起60日内提出行政复议申请。这一规定构成了行政复议申请期限的一般原则，适用于大多数行政复议案件，包括行政机关不履行法定职责的情况。
二、针对不作为行为的特殊判断
对于行政机关不履行法定职责这种不作为的情况，申请期限的起算点相对复杂，具体如下：
明确知道未履行之日起算：
- 若申请人能够明确知道或者根据常理应当知道行政机关应当在某个特定时间履行法定职责，但行政机关未履行，那么从该特定时间届满之日起计算申请期限。例如，若行政机关明确告知申请人在30个工作日内会给出审批结果，但期限届满后未履行，则从30个工作日届满之日起开始计算60日的申请期限。
履行期限届满之日起算：
- 若法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责有明确的期限规定，行政机关超过该期限仍未履行职责的，从该履行期限届满之日起计算行政复议申请期限。例如，若规定行政机关应在10个工作日内作出处理，但行政机关未在规定期限内履行，则从第11个工作日起开始计算60日的申请期限。
- 具体计算公式为：申请期限 = 履行期限届满日 + 60日。例如，若履行期限为10个工作日，则从第11个工作日起算60日作为申请期限。
紧急情况下的即时起算：
- 在一些紧急情况下，如公民遭遇正在发生的暴力侵害向公安机关求救而公安机关无故拖延不出警，行政机关应当立即履行法定职责以保护公民、法人或其他组织的合法权益。此时，申请人可以不受上述一般期限的限制，立即申请行政复议。
三、特殊情况下的期限延长
- 如因不可抗力或其他正当理由耽误了法定申请期限，申请期限可以自障碍消除之日起继续计算。这确保了申请人在面临不可抗拒因素或合理障碍时，仍有机会维护自己的合法权益。
四、地区性规定与咨询建议
- 需要注意的是，不同的地区或特定的行政法规也可能对行政复议申请期限有特别的规定。因此，在实际操作中，建议咨询当地的法律专业人士或相关机构，以确保申请符合所有的法律和程序要求。
总结与建议：
不履行法定职责的行政复议申请期限并非一成不变，而是需根据具体情况和法律规定来判断。申请人应充分了解相关法律法规和地区性规定，并在必要时寻求专业咨询。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将为你提供专业的法律意见和帮助。