面对肇事逃逸剐蹭无伤亡且对方不同意私了的情况，你可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：
一、立即报警并保护现场
第一时间报警：事故发生后，应立即拨打122报警电话，向交警部门详细报案。提供事故发生的时间、地点、肇事车辆的特征（如车牌号、车型、颜色等）、驾驶人的大致外貌特征以及逃逸方向等关键信息，以便警方迅速展开调查。
保护现场证据：在等待交警到来的过程中，务必确保事故现场不受破坏。不要随意移动车辆或相关物品，可以拍照或录像以记录现场情况。这些照片和录像将作为后续调查和处理的重要证据，有助于还原事故真相。
二、配合警方调查并提供证据
如实陈述事故经过：在接受警方询问时，应如实、全面地陈述事故发生的经过，不得隐瞒或提供虚假信息。这有助于警方准确判断事故责任，为后续处理提供依据。
提供证据线索：如果事故现场有监控摄像头、行车记录仪、证人证言等能证明事故发生情况的线索，应及时向警方提供。这些证据对于确定肇事车辆和事故责任至关重要，有助于加快案件处理进度。
获取交通事故责任认定书：交警勘查现场后会出具交通事故责任认定书，这是后续维权的重要证据。务必妥善保管，以便在后续处理中作为依据。
三、进行财产损失评估
对事故造成的车辆及其他财产损失进行评估。可以选择有资质的评估机构对受损车辆进行定损，确定维修费用或车辆的实际损失价值。这有助于在后续赔偿中明确损失范围，确保自己的合法权益得到保障。
四、联系保险公司并启动理赔程序
及时联系自己的保险公司，了解是否能够启动理赔程序。有些保险公司对于肇事逃逸的情况会有相应的应对措施和理赔流程。按照保险公司的要求提供相关证据和材料，如交通事故责任认定书、财产损失评估报告等，以便尽快获得理赔。
五、追究肇事方的法律责任
刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，将面临三年以上七年以下有期徒刑的刑事处罚；因逃逸致人死亡的，将面临七年以上有期徒刑的刑事处罚。如果肇事方的逃逸行为构成犯罪，你将有权要求警方追究其刑事责任。
行政责任：依据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，造成交通事故后逃逸尚不构成犯罪的，将由公安机关交通管理部门处以罚款、拘留等行政处罚，并且吊销机动车驾驶证，终生不得重新取得。如果肇事方的逃逸行为不构成犯罪，但违反了交通法规，你将有权要求警方对其处以相应的行政处罚。
民事赔偿责任：在确定肇事方责任后，你可以通过以下途径要求其承担民事赔偿责任：
面对此类情况，请保持冷静并采取正确的应对措施。通过报警、保护现场、配合警方调查、进行财产损失评估、联系保险公司并启动理赔程序以及追究肇事方的法律责任等步骤来维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。