结论：公司辞退员工时，若员工要求书面通知并随后上诉，公司可能会面临一定的法律影响，但具体影响取决于辞退的合法性和程序合规性。
一、辞退合法性与程序合规性的影响
合法辞退：
- 如果公司辞退员工的行为完全合法，例如员工存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊等行为，且公司有充分的证据证明这一点，同时按照法律规定出具了书面辞退通知，那么员工上诉后，公司通常不会面临不利的法律后果。
- 在此情况下，书面辞退通知不仅是对员工的一种正式告知，也是公司履行法律义务的表现，有助于维护公司的合法权益。
违法辞退：
- 如果公司辞退员工的行为存在违法情形，例如未提前通知、未支付经济补偿、辞退理由不充分或证据不足等，那么员工上诉后，公司可能会面临劳动争议仲裁或诉讼的风险。
- 在此情况下，书面辞退通知可能成为员工主张权利的重要依据，如果通知内容存在瑕疵或违法，公司可能会因此承担不利的法律后果。
二、员工上诉的可能后果
劳动争议仲裁：
- 员工在收到书面辞退通知后，如果认为公司的辞退行为违法或侵犯了其合法权益，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决，如果裁决公司败诉，公司可能需要支付经济补偿、赔偿金或恢复劳动关系等。
诉讼：
- 如果员工对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼。
- 法院将依法审理案件，并作出判决。如果判决公司败诉，公司同样需要承担相应的法律责任。
三、公司的应对策略
确保辞退合法合规：
- 公司在辞退员工前，应确保辞退行为符合法律规定和公司规章制度，并收集充分的证据证明辞退的合法性。
- 同时，公司应按照法律规定出具书面辞退通知，并明确告知员工辞退的理由、依据和后续处理事宜。
积极应对员工上诉：
- 如果员工提出上诉，公司应积极应对，配合劳动争议仲裁委员会或人民法院的调查和审理工作。
- 公司可以委托专业律师代理诉讼或仲裁事务，以维护公司的合法权益。
加强内部管理：
- 公司应加强内部管理，完善规章制度和人事管理制度，避免因管理不善而引发劳动争议。
- 同时，公司应加强对员工的培训和指导，提高员工的法律意识和职业素养，减少因员工行为不当而引发的法律风险。
总结与建议：公司辞退员工时，应确保辞退行为的合法性和程序合规性，并出具书面辞退通知。如果员工提出上诉，公司应积极应对并配合相关部门的调查和审理工作。同时，公司应加强内部管理，完善规章制度和人事管理制度，以降低劳动争议的风险。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。