帮信嫌疑检察院法定不起诉后，公安是否会进行行政处罚，需视具体情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法定不起诉与行政处罚的关系
法定不起诉的含义：
- 法定不起诉，是指人民检察院对公安机关移送起诉的案件，审查后认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪，或者存在法定不追究刑事责任的情形，而依法作出的不起诉决定。这通常意味着犯罪嫌疑人的行为情节轻微，社会危害性较小，或者存在其他法定不予追究刑事责任的情形。
行政处罚的依据：
- 行政处罚是行政机关对违反行政管理法律法规的行为所给予的制裁。其依据是行政管理法律法规，与刑事处罚的依据（刑法）存在差异。因此，即使检察院作出法定不起诉决定，行政机关仍有可能根据行政管理法律法规对犯罪嫌疑人进行行政处罚。
二、可能进行行政处罚的情形
违法行为虽不构成犯罪，但违反行政管理法规：
- 如果犯罪嫌疑人的行为虽然不构成帮信罪，但违反了其他行政管理法规（如网络安全法、电信条例等），行政机关有权根据相关法规对其进行行政处罚。例如，提供技术支持或帮助的行为可能违反了网络安全管理的相关规定，行政机关可以据此进行罚款、吊销许可证等行政处罚。
行政机关认为仍需给予行政处罚：
- 即使检察院作出法定不起诉决定，行政机关也可能认为犯罪嫌疑人的行为具有一定的社会危害性，需要给予行政处罚以维护社会秩序和公共利益。这种情况下，行政机关会依据相关法律法规和执法判断，对犯罪嫌疑人进行相应的行政处罚。
三、行政处罚的种类与程序
行政处罚的种类：
- 根据《中华人民共和国行政处罚法》的规定，行政处罚的种类包括警告、通报批评、罚款、没收违法所得、没收非法财物、暂扣许可证件、降低资质等级、吊销许可证件、限制开展生产经营活动、责令停产停业、责令关闭、限制从业以及行政拘留等。
行政处罚的程序：
- 行政机关在作出行政处罚决定前，应当告知当事人拟作出的行政处罚内容及事实、理由、依据，并告知当事人依法享有的陈述、申辩、要求听证等权利。当事人有权进行陈述和申辩，行政机关必须充分听取当事人的意见，对当事人提出的事实、理由和证据，应当进行复核；当事人提出的事实、理由或者证据成立的，行政机关应当采纳。
四、建议与注意事项
了解相关法律法规：
- 犯罪嫌疑人及其家属应了解与帮信罪相关的法律法规，以及可能涉及的行政管理法规，以便更好地维护自己的合法权益。
积极配合行政机关的调查与处理：
- 如果行政机关决定对犯罪嫌疑人进行行政处罚，犯罪嫌疑人应积极配合调查与处理工作，如实陈述事实、提供证据，并按照行政机关的要求履行相关义务。
寻求法律帮助：
- 如果犯罪嫌疑人对行政处罚决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。在此过程中，建议寻求专业律师的法律帮助，以确保自己的合法权益得到充分维护。
总结来看，帮信嫌疑检察院法定不起诉后，公安是否会进行行政处罚取决于具体情形。如果犯罪嫌疑人的行为违反了行政管理法规，或者行政机关认为仍需给予行政处罚以维护社会秩序和公共利益，那么公安（或相关行政机关）有权进行行政处罚。因此，犯罪嫌疑人及其家属应了解相关法律法规，积极配合行政机关的调查与处理工作，并在必要时寻求法律帮助。