当公交驾驶员遇到乘客的敲诈勒索时，这是一个涉及法律问题的严重情况，需要采取恰当且合法的措施来应对。以下是一些建议的处理步骤：

一、保持冷静与安全

1. 保持冷静：面对敲诈勒索，驾驶员首先要保持冷静，不要因情绪激动而做出过激反应，这有助于更好地处理问题。
2. 确保安全：如果敲诈勒索行为对驾驶员或乘客的安全构成威胁，应立即采取措施确保所有人员的安全，如停车并寻求帮助。

二、收集证据

1. 记录细节：尽可能详细地记录敲诈勒索者的外貌特征、行为举止、言语内容以及发生的时间和地点。
2. 寻找证人：如果有其他乘客在场，可以请他们作为证人，并记录他们的联系方式，以便后续需要时提供证词。
3. 利用车载设备：如果公交车配备了摄像头或录音设备，应确保这些设备正常工作，并保存相关记录作为证据。

三、及时报警

1. 立即报警：在确保安全的情况下，驾驶员应立即向警方报案，详细描述敲诈勒索的情况，并提供所收集的证据。
2. 配合调查：积极配合警方的调查工作，提供必要的协助和信息，以便警方能够迅速展开行动。

四、法律后果与应对

1. 了解法律后果：根据相关法律法规，敲诈勒索公私财物且涉案金额达到一定程度，或者出现多次敲诈勒索情况，将面临三年以下的有期徒刑、拘役或管制惩罚，并可能被判处罚金。若犯罪事实较为严重，如涉案金额庞大或者存在其他严重情节，嫌疑人则需在三年以上十年以下接受刑事制裁，并支付罚金。倘若犯罪情节特别恶劣，被告人可能遭遇十年以上有期徒刑的严厉惩罚，并需支付巨额罚金。
2. 寻求法律援助：如果驾驶员在处理过程中遇到法律问题或需要进一步的法律帮助，可以寻求专业律师的咨询和援助。

五、公司支持与后续处理

1. 报告公司：驾驶员应及时向所在公交公司报告此事，以便公司能够提供必要的支持和协助，如安排替代驾驶员、提供心理辅导等。
2. 关注后续影响：驾驶员应关注此事件可能带来的后续影响，如是否会对自己的职业生涯产生负面影响，以及是否需要采取进一步的措施来保护自己的权益。

总之，面对乘客的敲诈勒索，公交驾驶员应保持冷静、收集证据、及时报警，并了解相关的法律后果和应对措施。同时，寻求公司和法律专业人士的支持与帮助也是非常重要的。