您好，关于“被委托的第一监护人是否有继承权”的问题，这主要取决于具体的法律情境和继承顺序。

首先，我们需要明确的是，监护权与继承权是两个不同的法律概念。监护权是指对无民事行为能力人或限制民事行为能力人的人身、财产和其他合法权益进行监督和保护的权利。而继承权则是指继承人依法取得被继承人遗产的权利。

在继承法中，继承顺序是明确规定的。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。

被委托的第一监护人，并不直接因其监护身份而获得继承权。除非该监护人同时也是被监护人的法定继承人（如配偶、子女、父母等），或者符合代位继承的条件（如被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡，且该监护人是被继承人兄弟姐妹的子女），否则他们通常不会因为担任监护人而获得继承权。

以您提供的参考信息为例，林女士没有第一顺序继承人，且第二顺序继承人中养祖父母、养外祖父母都早于她去世，林女士的继承人仅有养兄朱某（但朱某已先于林女士去世）。在这种情况下，朱某的子女（即林女士的侄子女）可以代位继承，但这并不是因为他们担任了林女士的监护人，而是因为他们符合代位继承的法律条件。

因此，被委托的第一监护人是否有继承权，取决于他们是否同时也是被监护人的法定继承人或符合代位继承的条件。如果他们不是法定继承人且不符合代位继承的条件，那么他们通常不会因为担任监护人而获得继承权。

希望这个解答能够帮助您更好地理解监护权与继承权的关系。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。