核心结论：在编老师因行政处罚被开除，可通过法律途径维护自身权益，具体需结合处罚类型、程序合法性及合同约定综合判断。以下是分情况说明：

1. 审查行政处罚的合法性

• 法律依据：根据《事业单位工作人员处分暂行规定》，开除处分需满足“严重违反职业道德或社会公德”“被依法判处刑罚”等法定情形。若行政处罚（如警告、罚款）未达到“严重”程度，或与教学行为无直接关联（如交通违章），学校直接开除可能缺乏法律依据。
• 操作建议：要求学校出具开除决定的书面依据，核对处罚是否与《事业单位人事管理条例》中规定的开除情形匹配。若不匹配，可主张处分过当。

2. 核查开除程序的合规性

• 程序要求：学校作出开除决定前，需履行“调查取证、听取陈述申辩、集体讨论决定、通知本人并说明理由”等程序。若未履行上述程序（如未听取本人申辩），属于程序违法。
• 操作建议：向学校索要开除决定的程序文件（如会议记录、申辩笔录），若缺失可主张程序违法，要求撤销处分。

3. 分析劳动合同或聘用合同的约定

• 合同条款：检查与学校签订的《事业单位聘用合同》中是否约定“行政处罚即开除”的条款。若合同无明确约定，或约定与法律法规冲突（如扩大开除范围），该条款可能无效。
• 操作建议：若合同无相关条款，或条款显失公平，可主张学校滥用处分权，要求按合同约定或法律规定处理。

4. 维权途径

• 内部申诉：根据《事业单位工作人员申诉规定》，可在收到开除决定后30日内向学校上级主管部门提出申诉，要求复核。
• 劳动仲裁：若申诉无果，可向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，主张开除决定违法，要求恢复劳动关系或赔偿。
• 行政诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院提起行政诉讼，由法院审查开除决定的合法性。

5. 特殊情形：刑事处罚与开除

• 法律依据：若行政处罚后续转为刑事处罚（如因同一行为被判刑），根据《事业单位工作人员处分暂行规定》，学校可依法开除。但若仅是行政处罚，未达到刑事犯罪程度，开除需谨慎。
• 操作建议：若被错误认定为刑事犯罪，需及时通过刑事申诉或再审程序纠正，再据此主张开除决定无效。

温馨提示：每个案件的具体情况不同，需结合处罚类型、程序证据、合同条款等综合判断。若您需要进一步分析，可直接向我提供处罚决定书、开除通知、合同文本等材料，我会为您详细解答。