结论：房东是否承担责任需视具体情况而定，但通常情况下，如果房东未尽到安全保障义务，如未及时修复损坏的路灯，导致孩子在住房楼梯摔伤，房东可能需要承担一定的责任。
一、房东的安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，房东作为房屋的管理人，对房屋及其附属设施负有安全保障义务。这包括确保房屋结构安全、设施完好，以及及时消除可能存在的安全隐患。路灯作为住房楼梯的附属设施，其正常运行对于保障住户的安全至关重要。
二、房东未尽义务的法律后果
如果房东知道或应当知道路灯损坏：
- 房东有义务及时修复路灯，以确保住户的安全。
- 如果房东未及时修复，导致孩子在楼梯摔伤，房东可能因未尽到安全保障义务而承担侵权责任。
如果房东不知道路灯损坏：
- 房东仍需承担一定的注意义务，即应定期检查房屋及其附属设施，及时发现并修复潜在的安全隐患。
- 如果房东未履行此注意义务，导致孩子在楼梯摔伤，房东也可能因疏忽大意而承担一定的责任。但这种情况下的责任可能相对较轻。
三、责任划分的考虑因素
在确定房东的责任时，还需考虑以下因素：
孩子的年龄和认知能力：
- 如果孩子年龄较小，缺乏足够的认知能力和自我保护能力，房东的安全保障义务可能更为严格。
摔伤的具体原因：
- 除了路灯损坏外，还需考虑摔伤是否与其他因素有关，如楼梯的湿滑、杂物堆放等。
- 如果摔伤是由多种因素共同导致的，房东的责任可能相应减轻。
房东的过错程度：
- 房东的过错程度也是确定责任的重要因素。如果房东明知路灯损坏而未修复，其过错程度可能较重；如果房东不知情且已尽到合理的注意义务，其过错程度可能较轻。
四、建议与后续行动
收集证据：
- 如果孩子因路灯损坏在楼梯摔伤，建议立即收集相关证据，如现场照片、医疗记录、证人证言等。
- 这些证据将有助于证明房东的过错和孩子的损害后果。
与房东协商：
- 在收集到足够证据后，可以与房东进行协商，要求其承担相应的赔偿责任。
- 协商过程中，应明确房东的过错和孩子的损害后果，以及赔偿的具体金额和方式。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，或者房东拒绝承担责任，可以考虑寻求法律援助或提起诉讼。
- 在此过程中，建议咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。
作为李龙律师，我建议您在处理此类问题时保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。