您好，关于代课老师与哪方签约的问题，这主要取决于代课老师的聘请方式和管理模式。一般来说，代课老师的签约方主要有以下几种情况：
与学校直接签约：
- 如果代课老师是由学校直接聘请并管理的，那么双方应当签订劳动合同。这份合同会明确界定代课老师和学校之间的权利和责任，包括工作内容、薪资待遇、福利待遇等。
- 签订劳动合同对于代课老师来说非常重要，因为它能确保您的合法权益得到充分保障，比如明确劳动条件、工作时间、加班补偿等，并且按照法律规定，用人单位还需为您缴纳社保。
与第三方劳务公司签约：
- 在某些情况下，代课老师可能是通过第三方劳务公司派遣到学校工作的。这种情况下，您应当与第三方劳务公司签订劳动合同，而与学校之间仅为工作派遣关系。
- 尽管合同签订主体是第三方劳务公司，但您的合法权益仍应得到充分保障，包括工资按时发放、社保缴纳等。同时，学校作为用工单位，也需承担一定的管理责任，确保您的工作环境和待遇符合相关法律法规的要求。
额外注意事项：
- 如果您是通过第三方劳务公司签约的，并且您是应届毕业生，那么在签约前请务必了解清楚该合同是否会影响您的应届生身份。因为有些岗位在考公考编时是要求应届生身份的，如果与第三方公司签订了劳动合同并上传到了人事局，那么您可能就不再被视为应届生。
- 无论与哪方签约，都请务必仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如果有任何疑问或不明确的地方，请及时向签约方咨询并寻求解答。
希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。