代课老师签订劳动合同的对象需根据具体情况确定，一般分为与学校直接签订或与第三方劳务公司签订两种情况。以下是对此问题的详细分析：
一、与学校直接签订劳动合同
适用情形：
- 当代课老师由学校直接聘请并管理时，双方应建立劳动关系，并签订书面劳动合同。
法律意义：
- 明确权利义务：劳动合同能够清晰界定代课老师和学校双方的权利和责任，包括工作内容、薪资待遇、福利待遇等，有助于避免日后因约定不明而产生的纠纷。
- 保障权益：劳动合同是代课老师权益的重要保障，其中会明确规定劳动条件、工作时间和加班补偿等。同时，按照法律规定，用人单位需为劳动者缴纳社保，劳动合同能确保代课老师享受养老、医疗、失业、工伤和生育保险的待遇。
- 符合法律法规要求：根据《中华人民共和国劳动合同法》，只要劳动者与用人单位建立了劳动关系，就应当签订书面劳动合同。不签订劳动合同，用人单位可能面临支付双倍工资等法律责任。
二、与第三方劳务公司签订劳动合同
适用情形：
- 当代课老师通过第三方劳务公司派遣至学校工作时，应与劳务公司签订劳动合同，而与学校之间仅为工作派遣关系。
法律意义：
- 合同签订主体：在这种情况下，代课老师的劳动合同签订主体为劳务公司，而非学校。
- 权益保障不变：尽管合同签订主体不同，但代课老师的合法权益仍应得到充分保障。这包括但不限于工资按时发放、社保缴纳等。劳务公司作为用人单位，需承担相应的法律责任。
- 责任划分：学校作为用工单位，虽不与代课老师直接签订劳动合同，但仍需承担一定的管理责任，确保代课老师的工作环境和待遇符合相关法律法规的要求。
三、建议与注意事项
核实身份与关系：
- 代课老师在入职前，应核实自己的身份和与学校或劳务公司的关系，明确自己应与哪一方签订劳动合同。
仔细阅读合同条款：
- 在签订劳动合同时，代课老师应仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如有疑问或不明之处，应及时向学校或劳务公司咨询。
保留相关证据：
- 代课老师应保留与劳动合同相关的证据，如合同文本、工资条、社保缴纳记录等，以备日后维权之需。
及时维权：
- 如代课老师的权益受到侵害，如未按时发放工资、未缴纳社保等，应及时向学校或劳务公司提出异议，并寻求法律援助或向劳动监察部门投诉。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和解决方案。