欠供应商4万被起诉，银行卡不一定会被冻结。这主要取决于债权人是否向法院申请了财产保全，以及法院是否作出了相应的裁定。以下是对此问题的详细分析：
一、财产保全申请的影响
债权人申请财产保全：
- 在民事诉讼中，债权人为了确保将来判决能够得到有效执行，可以向法院申请对债务人的财产进行保全，包括冻结银行账户。
- 如果债权人提出了这样的申请，并且法院认为有必要，那么法院会在受理申请后的48小时内对债务人的账户进行冻结。
未申请财产保全：
- 如果债权人没有向法院申请财产保全，或者法院认为没有必要采取保全措施，那么债务人的银行账户就不会被冻结。
二、法院裁判的执行
败诉后拒不执行：
- 如果债务人败诉后拒不执行法院的裁判，债权人可以再次向法院申请强制执行。
- 在这种情况下，法院有权对债务人的财产进行查封、扣押、冻结等措施，以确保裁判得到有效执行。
主动履行义务：
- 如果债务人主动履行了还款义务，或者与债权人达成了和解协议并按照协议履行，那么就不会出现银行账户被冻结的情况。
三、法律建议
积极应对诉讼：
- 面对供应商的起诉，债务人应积极应对，了解诉讼的具体情况和法律后果。
- 可以考虑与债权人协商解决纠纷，或者通过法律途径维护自己的合法权益。
保留相关证据：
- 债务人应保留与案件相关的所有证据，包括合同、付款记录、沟通记录等。
- 这些证据在诉讼过程中可能起到关键作用，有助于债务人维护自己的权益。
咨询专业律师（此条虽为常规建议，但在此情境下作为法律建议的一部分给出）：
- 鉴于法律问题的复杂性，债务人可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。不过，您现在就已经在向我，吕巧梅律师咨询了，我会尽我所能为您提供帮助。
总结来看，欠供应商4万被起诉并不意味着银行卡一定会被冻结。这取决于债权人是否申请财产保全以及法院是否作出相应的裁定。同时，债务人应积极应对诉讼，保留相关证据，并在必要时咨询专业律师以维护自己的合法权益。如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。