当您作为公司驾驶员在执行工作任务过程中发生事故并导致自身受伤时，关于赔偿的问题，这主要取决于事故的具体情况以及相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细解答：

一、基本原则：职务行为由公司担责

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。这一原则同样适用于驾驶员在执行工作任务过程中自身受伤的情况。也就是说，如果事故发生在您执行公司工作任务的过程中，且您没有故意或重大过失，那么通常情况下，公司应当承担相应的赔偿责任。

二、驾驶员存在故意或重大过失的情况

然而，如果事故是由于您的故意或重大过失导致的，比如酒驾、严重超速、无证驾驶等严重违反交通法规的行为，那么情况就会有所不同。在这种情况下，公司虽然仍然需要先对事故损害进行赔偿，但赔偿后有权向您进行追偿，要求您承担部分或全部因您的过错而导致的损失。

三、非职务行为的情况

如果事故并非发生在您执行工作任务的过程中，比如您未经公司同意擅自挪用公车外出而发生的交通事故，那么您就需要自行承担相应的赔偿责任。在这种情况下，公司通常不会承担赔偿责任，但可能会根据内部规定或劳动合同中的条款，对您进行一定的处理或追偿。

四、保险赔付的影响

此外，事故造成的损失大小以及保险的赔付范围也会影响您是否需要赔钱。如果公司购买了足够的车辆保险，那么保险赔付可能会覆盖大部分或全部损失。但是，如果保险赔付不足以覆盖全部损失，剩余部分就可能涉及您和公司如何分担的问题。这通常取决于事故的具体情况、您的过错程度以及公司内部的规定。

五、建议与行动

1. 及时报告事故：无论事故大小，您都应立即向公司报告，并按照公司的指示进行处理。
2. 保留相关证据：包括事故现场的照片、视频、交警出具的事故责任认定书等，这些证据在后续的赔偿处理中可能会起到关键作用。
3. 了解公司政策：熟悉公司关于事故赔偿的内部规定和流程，以便在需要时能够迅速应对。
4. 寻求法律帮助：如果您对事故赔偿的处理有疑问或不满，可以咨询专业的法律人士，了解自己的权益和可能的救济途径。

综上所述，当您作为公司驾驶员在执行工作任务过程中发生事故并导致自身受伤时，赔偿问题主要取决于事故的具体情况、您的过错程度以及相关法律法规和公司政策的规定。