当民事调解书全部履行完毕后，法院的处理方式及相关法律后果可以归纳为以下几点：

一、案件终结与归档

1. 案件终结：一旦调解书所确定的义务全部履行完毕，该案件即视为正式终结。这意味着相关的争议已经得到妥善解决，诉讼程序也随之画上句号。

2. 归档处理：调解书会作为案件的归档材料，留存于司法机关或相关机构的档案中。这样做是为了方便后续查询和参考，确保案件的完整性和可追溯性。

二、法律效力与再诉限制

1. 法律效力：调解书具有与判决书同等的法律效力。这意味着一旦调解书生效，其内容就具有强制执行力，当事人必须履行。

2. 再诉限制：在调解书履行完毕后，当事人不得就同一纠纷再次起诉。这是为了维护法律的稳定性和权威性，避免同一纠纷被反复处理。

三、强制执行申请与期限

1. 强制执行申请：如果一方当事人未能履行调解书所确定的义务，另一方当事人有权在调解书规定的履行期限届满后的两年内，向作出调解书的法院提出强制执行申请。

2. 申请期限：需要特别注意的是，申请强制执行是有期限限制的。如果超过了规定的期限，法院可能会拒绝受理申请，从而导致自身的权利无法得到有效的保障。

四、履行过程中的问题处理

1. 沟通协商：在调解书的履行过程中，如果出现了新的纠纷或者问题，双方应当及时进行沟通协商，寻求妥善的解决方案。

2. 法律途径：如果沟通协商无果，双方可以寻求法律途径来解决争议。例如，可以向法院申请强制执行、提起诉讼或者申请仲裁等。

实例说明

以小何与小李的案例为例：两人经法院调解达成协议，调解书明确了双方权利义务及履行期限。然而，履行期限届满后，小李并未按调解书履行义务。小何起初未在意，两年多后才想起此事，向作出调解书的法院申请强制执行，却遭到法院拒绝。这是因为根据法律规定，一方未履行调解书义务，另一方应在履行期限届满后的两年内申请强制执行。小何申请时已超过两年期限，因此法院拒绝其申请。

综上所述，当民事调解书全部履行完毕后，法院会进行案件终结与归档处理，同时调解书具有与判决书同等的法律效力，并限制当事人就同一纠纷再次起诉。如果一方未履行调解书义务，另一方应在规定期限内申请强制执行。在履行过程中出现问题时，双方应及时沟通协商或寻求法律途径解决。